2次方程式の実数解の個数

問題

$a$を実数の定数とするとき、次の$2$次方程式の実数解の個数を求めよ。

解説

$2$次方程式の実数解の個数の問題について解説します。

$2$次方程式の実数解の個数と言われたら何が思いつくかな？

「判別式」です！

$2$次方程式の実数解の個数を求めるためには、判別式を考えましょう。

ところで、なぜ判別式を考えれば実数解の個数が求められるか分かるかな？

うーん$\cdots$分からないです。

$2$次方程式$ax^2+bx+c=0$の解は$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$だよね。分子に注目してみると、$\sqrt{b^2-4ac}$の符号が$+$のときと$-$のときで解が$2$つあるよね。

はい。

解の個数自体は$2$つあるけれど、ここでは「実数」解のみを考えたいから、$\sqrt{}$の中身がマイナスになる場合は実数解があるとは言えないんだ。

なるほど。だから$\sqrt{}$の中身である$b^2-4ac$の値を調べれば、実数解の個数が分かるんですね。

それでは、例題をみていきましょう。

判別式$D$を考えます。

問題文より、$a$は定数なので$a^2 \geqq 0$

よって、$D=a^2+12>0$より実数解の個数は$2$個となります。

$x$の係数が偶数のため、$D=b^2-4ac$の代わりに$\frac{D}{4}=(b')^2-ac$を用いると素早く正確に計算することが可能です。

判別式を$D$とすると、$D=2^4-a=4-a$となります。

あれ、$4-a$って正なのか負なのか分からないから$\cdots$

$a$は定数だから、$4-a$の値が正のときと$0$のときと負のときで場合分けして考えよう。

$D>0$、つまり$4-a>0$を解いて$a<4$のとき実数解は$2$個となります。

$D=0$、つまり$4-a=0$を解いて$a=4$のとき実数解は$1$個(重解)となります。

$D<0$、つまり$4-a<0$を解いて$a>4$のとき実数解は$0$個となります。

以上より、$a<4$のとき$2$個、$a=4$のとき$1$個、$a>4$のとき$0$個と求めることができます。

ここでは、$2$次方程式の実数解の個数を求める問題について解説しました。

解法自体は単純ですが、なぜ判別式を考えれば実数解の個数が分かるのかについても理解しておきましょう！