2次関数の決定

問題

次の条件を満たす$2$次関数を求めよ。

$(1)\quad$ 頂点が$(2,\,3)$で、点$(4,\,7)$を通る

$(2)\quad$ $3$点$(0,\,1)$、$(1,\,0)$、$(2,\,3)$を通る

解説

2次関数の決定について解説します。

2次関数を「決定する」ってどういうことですか？

与えられた条件から、2次関数の式を具体的に求めることだよ。

条件によって式の置き方が変わるんだ。

条件に合った形で式を置くことが大切だよ。それでは実際に問題を解いてみよう！

頂点がわかっているから、どの形で式を置くかな？

頂点が$(2,\,3)$なので、$y=a(x-2)^2+3$ と置けばいいですね！

その通り！あとは点$(4,\,7)$を代入して$a$の値を求めよう。

頂点が$(2,\,3)$なので、求める$2$次関数を

と置きます。この関数が点$(4,\,7)$を通るので、$x=4$, $y=7$を代入すると、

よって、求める$2$次関数は

展開すると$y=x^2-4x+7$となります。

グラフを見ると、確かに頂点が$(2,\,3)$で点$(4,\,7)$を通っているね！

今度は頂点がわからないです...どうすればいいですか？

頂点や軸がわからないときは、一般形 $y=ax^2+bx+c$ を使うよ。

$3$つの点を代入すれば、$a$, $b$, $c$の連立方程式ができるんだ。

求める$2$次関数を

と置きます。$3$点の座標をそれぞれ代入します。

1. $(0,\,1)$を代入：$1 = c$ $\quad\cdots\quad$ ①
2. $(1,\,0)$を代入：$0 = a+b+c$ $\quad\cdots\quad$ ②
3. $(2,\,3)$を代入：$3 = 4a+2b+c$ $\quad\cdots\quad$ ③

①より$c=1$がすぐにわかるね。これを②, ③に代入しよう。

①より$c=1$です。これを②, ③に代入すると、

② $\Rightarrow$ $a+b+1=0$ よって $a+b=-1$ $\quad\cdots\quad$ ②'

③ $\Rightarrow$ $4a+2b+1=3$ よって $2a+b=1$ $\quad\cdots\quad$ ③'

③'$-$ ②' より

②' に$a=2$を代入して $2+b=-1$ より $b=-3$

よって、求める$2$次関数は

グラフを見ると、確かに$3$点を全部通っていますね！

いいね！求めた式に$3$点の座標を代入して確かめることも大事だよ。

検算の習慣をつけておこう！

ここでは$2$次関数の決定について学習しました。

頂点や軸がわかっているときは$y=a(x-p)^2+q$、$3$点がわかっているときは$y=ax^2+bx+c$と、条件に応じて式の置き方を変えることがポイントです。

連立方程式を正確に解く計算力も大切なので、たくさん練習してくださいね！