判別式の応用

問題

$(1)\quad$ $2$次方程式 $x^2+2kx+k+6=0$ が実数解をもつような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

$(2)\quad$ $2$次方程式 $x^2-4x+m=0$ が重解をもつとき、定数 $m$ の値と重解を求めよ。

解説

判別式を用いて、文字を含む$2$次方程式の実数解の存在条件を求める問題を解説します。

今回は判別式 $D$ を使って、方程式のパラメータの条件を求める問題だよ。まずは判別式の基本を復習しよう。

判別式の符号で実数解の個数が分かるんでしたね。でも、今回は「実数解をもつ条件」を求めるんですか？

そう！「実数解をもつ」$\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$ という条件を使って、未知のパラメータの範囲を求めるんだ。グラフで考えると、放物線が $x$ 軸と共有点をもつ条件だね。

判別式の符号と放物線の位置関係をグラフで確認してみましょう。

青の放物線は $D>0$（$x$ 軸と$2$点で交わる）、緑は $D=0$（$x$ 軸に接する）、赤は $D<0$（$x$ 軸と交わらない）だよ。

それでは問題をみていきましょう。

実数解をもつ条件は $D \geqq 0$ です。

$x$ の係数が $2k$（偶数の形）なので、$\frac{D}{4}$ を使いましょう。

実数解をもつ条件は $\frac{D}{4} \geqq 0$ なので、

左辺を因数分解すると、

これは $k$ についての$2$次不等式ですね！

その通り！$2$次不等式の解き方を使おう。$(k-3)(k+2) \geqq 0$ だから、$k \leqq -2$ または $k \geqq 3$ だね。

よって、$\underline{k \leqq -2}$ または $\underline{k \geqq 3}$ が答えです。

重解をもつ条件は $D = 0$ です。

$x$ の係数が $-4$（偶数）なので、$\frac{D}{4}$ を使います。

$\frac{D}{4} = 0$ より $4 - m = 0$、すなわち $\underline{m = 4}$

このとき方程式は $x^2 - 4x + 4 = 0$ となり、

よって重解は $\underline{x = 2}$ です。

$m=4$ のとき、放物線 $y=x^2-4x+4$ は $x$ 軸にちょうど接する状態だね。グラフで確認してみよう。

頂点が $x$ 軸上にあるので、ちょうど接しているんですね！

そうだね。重解 $\Leftrightarrow$ $D=0$ $\Leftrightarrow$ 放物線が $x$ 軸に接する、という関係をしっかり理解しておこう。

ここでは判別式を応用して、パラメータの条件を求める問題について学習しました。

「実数解をもつ $\Rightarrow$ $D \geqq 0$」「重解 $\Rightarrow$ $D = 0$」という条件をパラメータについての方程式・不等式として解くのがポイントです。

$x$ の係数が偶数のときは $\frac{D}{4}$ を使うと計算が楽になるので、ぜひ活用してくださいね！