平方根の大小比較は、どこを比べれば一気に決まるの？

平方根では、数と式について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

両方を2乗して比べていい場面と、気をつける場面の違いは？

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このページのまとめ

平方根の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

大小の比較の答えと条件を先に確認できます。

次の各組の大小を比べよ。

\quad \sqrt{5}+\sqrt{11},\quad \sqrt{3}+\sqrt{13}

\underline{\sqrt{5}+\sqrt{11} > \sqrt{3}+\sqrt{13}}

平方根の問題について解説します。

$\sqrt{5}$ が $2$ と $3$ の間で、 $\sqrt{11}$ が $3$ と $4$ の間の数だから $\cdots$

このように、大小を比較する方法が分からない場合は感覚で考えてしまうこともあるでしょう。

しかし、数学的に大小を比較するためには具体的な数字で大小を比較する必要があります。

そんな時に使えるアプローチを紹介するよ！

まず、与えられた組に着目します。

$\sqrt{5}+\sqrt{11}$ と $\sqrt{3}+\sqrt{13}$ はどちらも $0$ より大きいですね。

どちらも $0$ より大きい数を比較する場合は、

累乗しても大小関係に変化はありません。

そこで、与えられた組をそれぞれ2乗して比較します。

(\sqrt{5}+\sqrt{11})^2=5+2\sqrt{55}+11=16+2\sqrt{55}

(\sqrt{3}+\sqrt{13})^2=3+2\sqrt{39}+13=16+2\sqrt{39}

となることから、 $16+2\sqrt{55}と16+2\sqrt{39}$ を比較する単純な問題になりました。

$\surd$ の中身以外は同じなので、 $\surd$ の中身だけで比較すると $55>33$ より $(\sqrt{5}+\sqrt{11})^2>(\sqrt{3}+\sqrt{13})^2$ が言えるので、

答えは $\underline{\sqrt{5}+\sqrt{11} > \sqrt{3}+\sqrt{13}}$ となります。

このページのまとめ

ここでは平方根の入った問題を解説しました。

大小を比較したいとき、比較する対象が $0$ より大きいという条件があれば $2$ 乗するという方法は頭の片隅に入れておきましょう。

比較する対象は $0$ より大きくないといけないんですか？

そうだね。例えば $-3$ と $2$ を比較すると $2$ の方が大きいけれど $2$ 乗すると大小関係が入れ替わってしまうよね。

なるほど！注意するようにします。

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