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数と式

有理数と無理数

実数

数と式の「有理数と無理数」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「実数」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅰ 約7分 難易度 1

このページのまとめ

先に押さえておくこと

有理数と無理数の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

実数の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: 実数
  • ポイント: 数と式の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

以下の数を有理数と無理数に分類せよ。

52,π,3,3,0.33⋯\qquad \frac 5 2,\quad \pi,\quad 3,\quad \sqrt{3},\quad 0.33\cdots

答えを見る

有理数は52,3,0.33⋯‾\quad \underline{\frac 5 2,\quad 3,\quad 0.33\cdots}

無理数はπ,3‾\quad \underline{\pi,\quad \sqrt{3}}

解説

有理数と無理数の問題について解説します。

数学の問題を解いていて、「有理数」や「無理数」という言葉を見たことがあるかな？

はい。実数という言葉もよく見ます。

まずは「有理数」と「無理数」という言葉の意味とそれに関連する実数の意味について整理していきましょう。

まず、実数って何か分かるかな？

なんとなく分かりますが説明できるかと言われると微妙です。

まずは「実数」という言葉の意味から理解しましょう。

これはイメージしやすいと思うよ。

今回の問題にある52,π,3,3\frac 5 2,\quad \pi,\quad 3,\quad \sqrt{3}は全部数直線上にあるから実数だよ。π=3.14⋯\pi=3.14\cdotsだし、3=1.73⋯\sqrt{3}=1.73\cdotsだからね。

じゃあ逆に実数じゃない数ってなんですか？

実数じゃない数を「虚数」と言うんだ。虚数については数学Ⅱ以降で学習するよ。

次に「有理数」と「無理数」について見ていきます。

整数を使って分数の形で表せるかどうかが重要だね。

それでは問題を見ていきます。

以下の数を有理数と無理数に分類せよ。

52,π,3,3,0.33⋯\qquad \frac 5 2,\quad \pi,\quad 3,\quad \sqrt{3},\quad 0.33\cdots

先ほどの定義を見れば

有理数は52,3,0.33⋯‾\underline{\frac 5 2,\quad 3,\quad 0.33\cdots}で無理数はπ,3‾\underline{\pi,\quad \sqrt{3}}

というようにすぐに分類できますね！

0.33⋯0.33\cdotsって有理数なんですか？

0.33⋯=130.33\cdots=\frac 1 3だから有理数だよ。循環小数は分数で表せるから有理数なんだ。例えば0.133⋯0.133\cdotsも有理数だよ。

最後に分からなくなった時のための見分け方を教えるね。

ある数が有理数なのか無理数なのか分からなくなってしまったら、その数を小数に直してみよう。

その小数が無限小数でなければ有理数\textcolor{red}{無限小数でなければ有理数}だし、

その小数が無限小数だったら

・循環小数なら有理数\textcolor{red}{循環小数なら有理数}

・循環小数じゃなければ無理数\textcolor{red}{循環小数じゃなければ無理数}

になるよ。

例として、

・0.1˙3˙0.\dot 1 \dot 3

→循環小数なので有理数‾→\underline{ 循環小数なので有理数}

・π\pi (円周率)

→小数に直すと3.141592⋯と循環していないので無理数‾→\underline{小数に直すと3.141592\cdotsと循環していないので無理数}

というようにすぐに見分けられます。

このページのまとめ

ここでは有理数と無理数について学習しました。

言葉の意味は忘れてしまいがちですが、数学の問題を解いていく上ですごくよく出てくる言葉なので必ず覚えておきましょう！

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