二重根号

問題

次の式を簡単にせよ。

解説

二重根号の問題について解説します。

二重根号って、なんですか？

根号というのは$\sqrt{}$のことだったよね。$\sqrt{}$の中に$\sqrt{}$を含むもの、例えば$\sqrt{\sqrt{3}}$のようなものを二重根号と言うんだ。

ここで、二重根号の外し方を確認しておきます。

二重根号って、外せるんですね。

正確に言うと外せるものと外せないものがあるんだ。さっき例にあげた$\sqrt{\sqrt{3}}$はこれ以上簡単にできないよね。でも例題$(1)(2)$のような式は次に示す手順で二重根号を外すことができるんだ。

これらを踏まえながら、実際に例題を考えていきましょう。

$(1)$では、$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$とすでに$2\sqrt{\cdots}$の形になっているので、$(1)$はそのままOKです。ここでは$X=5$、$Y=6$ですね。

$a+b=5$、$ab=6$を満たす$a,\; b$を探します。足して$5$、かけて$6$になる組み合わせは$3$と$2$ですね。

よって、二重根号を外すと$\underline{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$となります。

次の問題を見ていきましょう。

$(1)$と同様に手順通りに考えていきましょう。

$\sqrt{21}$の前を$2$にしたいですがどうすれば$\cdots$

分数と考えて分母と分子に$2$を掛けよう。少し強引だけど、この形に変形しないと二重根号は外せないからね。

$\sqrt{5+\sqrt{21}}$ $= \sqrt{\frac{10 + 2\sqrt{21}}{2}}$ $= \frac{\sqrt{10 +2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}}$と変形できますね。分子が$\sqrt{10+2\sqrt{21}}$となり、$X=10$、$Y=21$の形になりました。

ここで、分子の二重根号を外すことを考えます。

$a+b=10$、$ab=21$を満たす$a,\; b$を探すと、足して$10$、かけて$21$になる組み合わせは$7$と$3$なので、$\frac{\sqrt{10 +2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}}$ $= \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$というように二重根号を外すことができます。

よって、分母の有理化を行うと$\underline{ \frac{\sqrt{14} + \sqrt{6}}{2}}$となります。

ここでは二重根号の問題について解説しました。

二重根号の外し方は意外と忘れてしまいがちです。

内側の$\sqrt{}$の前の数を$2$にするのが少し慣れない変形かもしれませんが、逆にそこができれば残りは簡単なのでたくさん練習していつでも外せるようになっておきましょう。