式の値

問題

$x=\frac{5}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$, $y=\frac{5}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$とするとき、$x^3+y^3$の値を求めよ。

解説

式の値の問題について解説します。

この問題を見てどう考えるかな？

さすがに$x$と$y$をそのまま$x^3+y^3$に代入するのは避けたいです。とりあえず$x$と$y$を有理化してみます。

$x$と$y$をそれぞれ有理化すると、$x=5(\sqrt{6}-\sqrt{5}), \;$ $y=5(\sqrt{6}+\sqrt{5})$となります。

これでもそのまま$x^3+y^3$に代入すると計算が大変ですね。

$3$乗の展開公式を使えば答えには辿り着けますが、計算量が多くなって計算ミスする要因となります。

実は、「対称式」の性質を使えば簡単に計算することができるよ。

まずは、「対称式」が何なのかについて見ていきましょう。

この問題では$x^3+y^3$が対称式になっています。

対称式は必ず基本対称式を用いて表せるので$x^3+y^3$という対称式を基本対称式である$x+y,\; xy$を用いて表してみましょう。

$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$となります。

どうやったら基本対称式で表せるんですか？

それは対称式にもよるけれど、基本対称式をべき乗して次数を合わせ、それによって出てきた余分な項を引けば表せるよ。

今回であれば$x^3+y^3$を作り出すために$x+y$を$3$乗し、そこから辻褄を合わせるために余分な項を引くことで基本対称式で表せますね。

対称式は$\textcolor{red}{{必ず}}$基本対称式で表せるんだ。

だから基本対称式だけで表現するのは難しくはないよ。

$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$となりましたね。この形ならばどうでしょうか？基本対称式である$x+y$と$xy$の値を求めるのは簡単ですね。

$x=5(\sqrt{6}-\sqrt{5}),\; y=5(\sqrt{6}+\sqrt{5})$より$x+y=10\sqrt{6},\; xy=25$となります。

$xy$の計算には和と差の積を使おう。

この値を代入します。

$(x+y)^3-3xy(x+y)$$=(10\sqrt{6})^3-3\cdot 25 \cdot (10\sqrt{6})$$=6000\sqrt{6}-750\sqrt{6}$$=\underline{5250\sqrt{6}}$となります。

これで答えを求めることができました。

基本対称式で表して式の値を求める方法と、有理化した後強引に$3$乗して足し算するのとでは、計算にかかる時間ははるかに違います。

この問題で大切なところは、この問題が「対称式」の性質を使える問題だと瞬時に見抜けるかどうかです。

しかし問題文を見てすぐに対称式だと見抜けるようになるためには時間がかかると思います。

式の値を求める問題を見て「余りにも計算が面倒すぎる」「絶対に時間内に解ききれない」そんな問題が出た際には、対称式の性質を利用する解法が使えないか確認しましょう。

最後に見抜きづらい対称式を紹介するよ。

$x^3+\frac{1}{x^3}$という式も対称式なんだ。

え？いや、そもそも$2$変数ないじゃないですか。

$x$と$\frac{1}{x}$の対称式として見るんだ。

確かに元の式になっているよね。すごく見抜きづらいから注意してね。

対称式の問題について解説しました。

ここで学んだ解法は、2次方程式の解の公式を用いる問題でも使えます。

この解法を学び、対称式の式の値を求める際にすぐに対称式の性質を用いた解法が思いつくようになるまで色々な問題を解きましょう！