有限小数と循環小数

問題

$(1)\quad$ 次の分数のうち、有限小数で表されるものをすべて選べ。

$(2)\quad$ 次の循環小数を分数で表せ。

解説

有限小数と循環小数の問題について解説します。

分数と小数の関係って、実はすごく大切なテーマなんだ。ここでしっかり理解しよう！

まずは有限小数と循環小数の意味を確認しましょう。

分数が有限小数になるかどうかって、どうやって見分けるんですか？

いい質問だね！実は分母を素因数分解すれば分かるんだ。

なぜ$2$と$5$だけなんですか？

小数は$10$の累乗で割ることだよね。$10 = 2 \times 5$ だから、分母が$2$と$5$の積だけなら$10$の累乗にそろえられるんだ。

例えば$\dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{2^3} = \dfrac{3 \times 5^3}{2^3 \times 5^3} = \dfrac{375}{1000} = 0.375$ のようにね。

それでは問題を解いていきましょう。

各分数の分母を素因数分解して、素因数が$2$と$5$のみかどうかを調べます。

よって、有限小数で表されるものは$\underline{\dfrac{7}{20},\; \dfrac{3}{8},\; \dfrac{9}{40}}$です。

分母の素因数分解がポイントだね。$2$と$5$以外の素因数が1つでも含まれていたら有限小数にはならないよ。

循環小数を分数にするにはどうすればいいですか？

循環小数を$x$と置いて、繰り返し部分が消えるように式を作るんだ。やってみよう！

$(\mathrm{a})\; 0.\dot{1}\dot{2}$ を分数に変換します。

$x = 0.121212\cdots$ とおきます。

繰り返し部分は「$12$」の$2$桁なので、$100$倍すると繰り返し部分がそろいます。

ここで$100x$から$x$を引くと、

繰り返し部分の桁数だけ$10$の累乗を掛けるのがコツだよ。$2$桁繰り返しなら$100$倍、$3$桁なら$1000$倍だね。

$(\mathrm{b})\; 0.8\dot{3}$ を分数に変換します。

$x = 0.8333\cdots$ とおきます。

この小数は循環しない部分（$8$）と循環する部分（$3$）があるので、2段階で考えます。

まず$10$倍して循環しない部分を整数にします。

次に、繰り返し部分「$3$」は$1$桁なので、さらに$10$倍します。

$100x$から$10x$を引くと、

なるほど！循環しない部分がある場合は$2$つの式を作って引き算するんですね！

その通り！最後に約分も忘れずにね。

ここでは有限小数と循環小数について学習しました。

有限小数になるかどうかは、分母を素因数分解して$2$と$5$のみかを確認すれば判定できます。

循環小数を分数に直す方法は入試でもよく出題されるので、しっかり練習しておきましょう！