工夫できる展開

問題

$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$を展開せよ。

解説

工夫できる展開の問題について解説します。

この問題、どう解くかな？

左右$2$つのカッコ同士で公式を使って展開して残りは分配法則で掛け合わせて展開します。

この方法で考えてみると、

となるのでこれを掛け合わせて$(x^2-3x+2) (x^2-7x+12)$ $= x^4-10x^3+35x^2-50x+24$というように計算できますね。

式を展開する問題では、ただ闇雲にカッコ同士を掛け合わせていくだけでも必ず答えに辿り着けますが、多くの細かい計算を必要とし、計算ミスの要因となります。

今回の例題のように複雑な式を展開する問題が出た時は、はじめに式を工夫して展開することができないか考えることが重要です。

でも、工夫できそうなところがありません。

そうだね。展開する順番を変えてみるとどうだろう？

問題の$(x-2)$と$(x-4)$の位置を入れ替えてみましょう。

積なので掛け合わせる順番を変えても答えには影響しません。

$(x-1)(x-4)(x-3)(x-2)$となるので、先ほどと同じように左右$2$つのカッコ同士でそれぞれで展開すると$(\textcolor{red}{x^2-5x}+4)(\textcolor{red}{x^2-5x}+6)$となりますね。

$x^2-5x$がどちらにもあります！

共通部分は文字で置き換えるんでしたね。

$x^2-5x = X$と置くと、$(X+4)(X+6)$となるので

公式を用いて展開すると$X^2+10X+24$となります。

$X=x^2-5x$を代入すると$(x^2-5x)^2+10(x^2-5x)+24$ $=(x^4-10x^3+25x^2)+10x^2-50x+24$ $=\underline{x^4-10x^3+35x^2-50x+24}$となります。

工夫せずに解いた場合と比べて、格段に計算量が減っているよ。

このように、展開する問題で計算量が多くなりそうなときは工夫できないか考えるようにしましょう。

上手く工夫する方法が思いつかなかったらどうすればいいですか？

思いつかなかったら地道に展開して計算するしかないね。でも基本的には、

・式のどこかを置き換える

・掛け合わせる組み合わせを変えてみる

この2つのどちらかを使って公式が使える形に持っていくことを考えればOKだよ。

ここでは工夫できる展開の問題について解説しました。

どこを工夫すればいいのかは問題によって違いますが、

・式のどこかを置き換える

・掛け合わせる組み合わせを変える

この$2$つの「発想」を覚え、その問題にあった工夫の仕方をその場で考えることができるようになりましょう。

ぜひマスターしてくださいね！