この式では、まずどの展開公式を使うかどうやって見分けるの？

公式を用いた展開では、数と式について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

$(a+b)^2$ みたいな形だと、なぜ真ん中の項が$2ab$になるの？

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このページのまとめ

公式を用いた展開の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$の答えと条件を先に確認できます。

次の式を展開せよ。

(1)\quad (2a-b)^2

(2)\quad (2x-3y)^3

(3)\quad (a+b-3)(a+b+4)

(1)\;(2a-b)^2=\underline{4a^2-4ab+b^2}

(2)\;(2x-3y)^3=\underline{8x^3-36x^2y+54xy^2-27y^3}

(3)\;(a+b-3)(a+b+4)=\underline{a^2+2ab+b^2+a+b-12}

展開の問題について解説します。

(1)\quad (2a-b)^2

この問題は展開公式の中でも基本的な式である $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ を使います。

この展開公式に問題の文字を当てはめると $(2a)^2-2(2a)(b)+(b)^2$ となるので、これを計算すると答えは $\underline{4a^2-4ab+b^2}$ となります。

(2)\quad (2x-3y)^3

この問題は $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ を使います。

公式に当てはめると、 $(2x)^3-3(2x)^2(3y)+3(2x)(3y)^2-(3y)^3$ となるのでこれを計算して $\underline{8x^3-36x^2y+54xy^2-27y^3}$ となります。

(3)\quad (a+b-3)(a+b+4)

この問題は公式使えないのかな？

一見使えなさそうに見えるよね。もう少しよく見てみよう！

この問題のように、展開公式が使えなさそうな式はたくさん出てきます。

しかし、 $(\textcolor{red}{a+b}-3)(\textcolor{red}{a+b}+4)$ の $\textcolor{red}{赤字}$ の部分に注目してみると $a+b$ が共通していることが分かります。

そこで、 $a+b$ を $X$ などと置いてみましょう。

共通部分を文字で置き換えることで $(X-3)(X+4)$ となり、展開公式が使える形となりました。

共通部分を見つけたら文字で置き換えよう。

展開すると $X^2+X-12$ となるので、 $X$ を戻すと $(a+b)^2+(a+b)-12$ となり、 $(a+b)^2$ の部分を展開し計算すると答えは $\underline{a^2+2ab+b^2+a+b-12}$ となります。

置いた文字を戻し忘れないように注意してね！

このページのまとめ

ここでは展開公式を使った展開の問題について見てきました。

これらの問題は、公式を覚えていなくても解くことはできますが、公式を使って解いた方が正確に・素早く解くことができます。

色々な問題を解いて練習してくださいね！

計算ミスには気を付けてね！

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