対偶を利用した証明

問題

$(1)\quad$ 命題「$n^2$ が偶数ならば $n$ は偶数である」の対偶を述べ、その対偶を証明することにより元の命題を証明せよ。

$(2)\quad$ 命題「$n^2$ が $3$ の倍数ならば $n$ は $3$ の倍数である」を対偶を用いて証明せよ。

解説

対偶を利用した証明について解説します。

対偶って何に使うんですか？定義は分かるんですけど...

いい質問だね。対偶は「元の命題を直接証明しにくいとき」にとても役に立つんだ。まずは基本を確認しよう。

なぜわざわざ対偶を証明するんですか？元の命題を直接証明すればいいのでは？

「$n^2$ が偶数ならば $n$ は偶数」を直接証明しようとすると、$n^2$ が偶数であるという条件から $n$ が偶数であることを導く必要があるけど、これは意外と難しいんだ。

対偶にすると「$n$ が奇数ならば $n^2$ は奇数」となって、仮定が具体的になるから証明しやすいんだよ。

まず対偶を作ります。

元の命題は「$p$：$n^2$ が偶数 $\Rightarrow$ $q$：$n$ が偶数」という形です。

対偶は $\overline{q} \Rightarrow \overline{p}$ なので、

「$n$ が偶数でない（＝奇数） $\Rightarrow$ $n^2$ が偶数でない（＝奇数）」

つまり「$n$ が奇数ならば $n^2$ は奇数である」となります。

「偶数でない」は「奇数」と言い換えられるね。否定を分かりやすい表現に直すことがポイントだよ。

では、この対偶を証明しましょう。

$n$ が奇数のとき、整数 $k$ を用いて $n=2k+1$ と表せます。

$2k^2+2k$ は整数なので、$n^2$ は $2 \times (\text{整数})+1$ の形、つまり奇数です。

よって対偶が証明できたので、元の命題「$n^2$ が偶数ならば $n$ は偶数」も真です。

なるほど！対偶にすると「奇数を $2k+1$ と置く」という具体的な式で攻められるんですね。

その通り！対偶を使うと仮定の条件が扱いやすくなるのがメリットなんだ。

対偶は「$n$ が $3$ の倍数でないならば $n^2$ は $3$ の倍数でない」です。

$n$ が $3$ の倍数でないとき、$n$ を $3$ で割った余りは $1$ か $2$ なので、整数 $k$ を用いて次の $2$ 通りに場合分けします。

$\textbf{[i]}\;$ $n=3k+1$ のとき

$3k^2+2k$ は整数なので、$n^2$ を $3$ で割ると $1$ 余ります。よって $n^2$ は $3$ の倍数ではありません。

$\textbf{[ii]}\;$ $n=3k+2$ のとき

$3k^2+4k+1$ は整数なので、$n^2$ を $3$ で割ると $1$ 余ります。よって $n^2$ は $3$ の倍数ではありません。

どちらの場合も $3$ で割ると $1$ 余るんですね！

そうだね。[i][ii]いずれの場合も $n^2$ は $3$ の倍数ではないことが示せたね。

[i][ii]より、$n$ が $3$ の倍数でないならば $n^2$ は $3$ の倍数でないことが証明できました。

対偶が真であるから、元の命題「$n^2$ が $3$ の倍数ならば $n$ は $3$ の倍数」も真です。

対偶を使う証明のパターンを整理しておこう。

ここでは、対偶を利用した証明について学習しました。

「元の命題と対偶の真偽は一致する」という性質を使えば、直接証明しにくい命題も対偶を経由して証明できます。

整数の問題では特によく使われるテクニックなので、しっかり練習してくださいね！