背理法

問題

$\sqrt{2}$ が無理数であることを証明せよ。

解説

背理法について解説します。

背理法ってどういう証明方法ですか？

背理法は「結論の否定を仮定して、矛盾を導く」ことで証明する方法だよ。

直接証明するのが難しいときに有効なんだ。

なるほど。「もし結論が間違っていたら矛盾が起きるから、結論は正しい」ということですね！

その通り！では実際に問題を解いてみよう。

「$\sqrt{2}$ は無理数である」ことを直接示すのは難しいよね。そこで背理法を使おう。

背理法を使うので、結論の否定を仮定します。

つまり「$\sqrt{2}$ は$\textcolor{red}{有理数}$である」と仮定します。

$\sqrt{2}$ が有理数なら、互いに素な自然数 $p,\;q$ を用いて

と表せます。

「互いに素」という条件がポイントだよ。あとで矛盾を導くカギになるんだ。

両辺を$2$乗すると、

①より $p^2$ は$2$の倍数、つまり偶数です。

$p^2$ が偶数だと $p$ も偶数になるんですか？

いい質問だね。もし $p$ が奇数なら $p^2$ も奇数になるよね（奇数$\times$奇数$=$奇数）。

$p^2$ が偶数ということは $p$ は偶数でなければならないんだ。

$p$ が偶数なので、自然数 $m$ を用いて $p=2m$ とおけます。

これを①に代入すると、

よって $q^2$ も偶数なので、$q$ も偶数です。

あれ、$p$ も $q$ も偶数になってしまいました！

そう！$p$ と $q$ がともに偶数ということは、公約数$2$を持つことになる。

でも最初に「$p$ と $q$ は互いに素」と仮定していたよね。これは$\textcolor{red}{矛盾}$だ！

この矛盾は「$\sqrt{2}$ が有理数である」と仮定したことから生じました。

よって仮定が誤りであり、$\underline{\sqrt{2} は無理数である}$ことが証明されました。

背理法ってすごいですね！直接は示しにくいことでも証明できるんですね。

背理法は「〜でないことを示せ」「〜は存在しないことを示せ」のような問題でよく使われるよ。

否定の証明は直接やるのが難しいから、背理法の出番なんだ。

ここでは背理法の考え方と、$\sqrt{2}$ が無理数であることの証明を学習しました。

背理法は「結論の否定を仮定し、矛盾を導く」証明法です。

直接証明が難しい命題や、否定の形の命題を証明するときに非常に有効な手法なので、ぜひマスターしてくださいね！