3変数の交代式の因数分解

問題

$ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$を因数分解せよ。

解説

$3$変数の交代式の因数分解の問題について解説します。

$3$変数の交代式ってなんですか？

例題の式のように、$3$変数のうちどの$2$つの変数を入れ替えても元の式と符号が逆になる多項式のことだよ。

「対称式」という言葉は高校数学を学んでいればよく出てきますが、「交代式」という言葉は聞いたことがない方もいるかもしれません。

ふむふむ。交代式にはどのような性質があるんですか？

色々あるんだけれど、交代式を因数分解するとき次のような性質があるんだ。$2$変数の場合から見ていこう。

たとえば交代式である$x^3-y^3$は$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$と因数分解できるよね。

すごい、確かにそうなっていますね。

次に$3$変数の場合を見てみよう。

ふむふむ。この性質は覚えておいたほうがいいですか？

完璧に覚えておく必要はないけど、知っていれば例題のような問題が出たときに解答に自信が持てると思うよ。

分かりました！

これらのことを踏まえながら、例題を考えていきましょう。

交代式であろうとなかろうと、文字が複数あるので次数の低い文字について整理します。

ここではどの文字についての次数も同じなので、どの文字でも良いですがここでは$a$について整理してみましょう。

$a$について整理すると、$a^2b-ab^2+ac^2-a^2c+bc(b-c)$ $=(b-c)a^2-(b^2-c^2)a+bc(b-c)$となります。

$b-c$が共通因数としてあるので、くくると$(b-c)(a^2-(b+c)a+bc)$

これを因数分解して、$(b-c)(a-b)(a-c)$ $= \underline{-(a-b)(b-c)(c-a)}$となります。

最後にマイナスをくくり出さずに$(b-c)(a-b)(a-c)$と解答してもOKですが、ここでは説明のためマイナスをくくり出しています。

本当に$3$変数$a,\; b,\; c$の交代式を因数分解すると$(a-b)(b-c)(c-a)$が出てきましたね！

ここでは$3$変数の交代式の因数分解の問題について解説しました。

交代式の因数分解だから特別な考え方があるというわけではありませんが、解答に自信を持つためにも覚えておく価値はあると思います。

また因数分解の問題に限った話ではありませんが、数学の問題を解くときに出題されている式が対称式か交代式だったときはすぐ気づけると良いですね！