3変数の対称式の因数分解

問題

$(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$を因数分解せよ。

解説

$3$変数の対称式の因数分解の問題について解説します。

$3$変数の対称式ってなんですか？

$3$変数のうちどの$2$つの変数を入れ替えても変わらない多項式のことだよ。

例題の式である$(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$において、$a$と$b$、$b$と$c$を入れ替えても同じ式になるためこの式は対称式です。

因数分解する前の式が対称式のとき、因数分解した後の式も対称式であることが知られているんだ。このことは覚えておこう。

これらの知識を踏まえながら、実際に因数分解していきましょう。

因数分解したい式に文字が複数あるときは、次数の低い文字で整理するのが基本でしたね。

対称式の場合、次数は全て同じだね。

次数が同じなのでどの文字で整理しても良いですが、ここでは$a$について整理する方針で考えてみます。

カッコの中を先に$a$について整理すると、次のようになります。

これを展開していきましょう。$\{ a + (b+c) \}$と$\{(b+c)a + bc \}$の積を分配法則で展開します。

各項を整理すると、

ここで$abc$と$-abc$が打ち消し合うので、

$(b+c)$が共通因数となっているため、くくると

あとは$\{ \}$の中の$a^2 + (b+c)a + bc$を因数分解できれば完成です。

$a^2 + (b+c)a + bc$はどうやって因数分解するんですか？

$a$についての$2$次式とみて、「掛けて$bc$、足して$(b+c)$」になる$2$つの数を探せばいいよ。

掛けて$bc$、足して$(b+c)$になる$2$つの数はそのまま$b$と$c$です。よって、

したがって、

因数分解後も対称式になっているね。

ここでは$3$変数の対称式の因数分解の問題について解説しました。

対称式だから特別何か因数分解のやり方が変わるというわけではありませんが、対称式は因数分解後も対称式になることを知っていれば計算ミスに気づける場合もあるかと思います。

また、文字が複数あるとき「次数の低い文字で整理する」ことは必ずできるようになっておきましょう。