2元2次式の因数分解

問題

$a^2+4ab+3b^2-3a-5b+2$を因数分解せよ。

解説

2元2次式の因数分解の問題について解説します。

「$2$元」ってどういう意味でしたっけ？

$2$つの変数があるという意味だよ。

$2$元$2$次式にはたとえば$a^2+2ab+b^2$のようなものも含まれますが、ここで扱っている$2$元$2$次式というのは例題のような$4$項以上の$2$元$2$次式です。

因数分解したいときに変数が複数ある場合は次数の低い文字について整理するのが基本なんだ。

ふむふむ。例題だと$a$と$b$の次数が同じですが、この場合はどうすれば良いですか？

次数が同じ場合は、どちらについて整理してもOKだよ。

因数分解する際に、変数が複数ある場合は「次数の低い文字について整理する」ことは必ず覚えておきましょう。

この例題では$a$と$b$の次数は同じなので、どちらでも良いですがここでは$a$について整理してみましょう。

$a$について整理すると、$a^2+(4b-3)a+(3b^2-5b+2)$となります。

あれ、ここからどうすれば良いんですか？

$2$次式の因数分解だから、たすき掛けで因数分解しよう。

まず定数項（$a$を含まない部分）の$3b^2-5b+2$を因数分解します。$b^2$の係数が$3$、定数項が$2$なので、たすき掛けを使います。$3 \times 2=6$と最高次の係数と定数項の積を求め、かけて$6$、たして$-5$になる組み合わせは$-3$と$-2$です。これより$3b^2-5b+2=(b-1)(3b-2)$と因数分解できます。

よって$a^2+(4b-3)a+(b-1)(3b-2)$となります。

ここで$a^2$の係数が$1$なので、$(b-1)$と$(3b-2)$の$2$つの式について「かけて$(b-1)(3b-2)$、たして$a$の係数の$(4b-3)$」になるかを確認します。$(b-1)+(3b-2)=4b-3$と一致するので、$a$にそれぞれを足して$(a+b-1)(a+3b-2)$と因数分解できます。

よって答えは$\underline{(a+b-1)(a+3b-2)}$です。

慣れないたすき掛けの使い方かもしれないけど、組み合わせは少ないからすぐに因数分解することができるよ。

ここでは2元2次式の因数分解の問題について解説しました。

このタイプの問題に限らず、変数が複数出てくるような式の因数分解では「次数の低い文字について整理する」ことができるかどうかが非常に重要です。

色々な問題を解いて練習してくださいね！