複2次式の因数分解

問題

$(1) \; x^4+5x^2+9$を因数分解せよ。

$(2) \; x^4+4$を因数分解せよ。

解説

複$2$次式の因数分解の問題について解説します。

複$2$次式とはなんですか？

次数がすべて偶数の項のみからなる多項式のことだよ。

例題の$(1)$と$(2)$はどちらも複$2$次式になっていますね。

特に$(2)$は分かりづらいので、しっかりと複$2$次式だと見抜けるようになっておきましょう。

さて、複$2$次式の因数分解のやり方は決まっているんだ。以下の方法で因数分解しよう。

ふむふむ。$2$つありますが、どちらの方法で因数分解すればいいですか？

まずは$(1)$の方法から試すんだ。$(1)$の方法で上手く因数分解できる問題は少なくて、基本的には$(2)$の方法でやることになるよ。

それでは例題を通して解法をみていきましょう。

まずは$(1)$の方法でやってみます。

$x^2=X$とすると、$X^2+5X+9$となりますね。

しかし、たすき掛けをしようとしても上手い組み合わせが見つからないため、これ以上因数分解できませんね。

こうなったら$(2)$の方法を使うんだ。

強引に平方の差を作り出すって、どういうことですか？

$A^2- B^2$は$(A+B)(A-B)$というように因数分解できたよね。これを利用するんだ。

$x^4+5x^2+9=(x^2+3)^2 -(x)^2$というように変形できるため、$\underline{(x^2+x+3)(x^2-x+3)}$と因数分解できます。

こんな式変形思い付けますか？

$4$乗の項$x^4$と定数の項$9$に注目すると、最初に$(x^2+3)^2$となり残りの項の辻褄を合わせることで綺麗に$A^2-B^2$の形に変形できたね。

初めのうちは慣れない変形で難しく感じるかもしれませんが、複$2$次式の因数分解を行う際に式を変形する方法はこのようにすれば上手くいくので、色々な複$2$次式を因数分解してコツを掴んでいきましょう。

これらを踏まえながら、次に$(2)$を見ていきます。

まずは$x^2=X$としてみると、$X^2+4$となるためたすき掛けができないことはすぐに分かりますね。

そのため強引に平方の差の形に持っていきます。

$4$乗の項$x^4$と定数の項$4$に注目すると$(x^2+2)^2$となり、余分な項$-4x^2$を引けばよいので$(x^2+2)^2 -(2x)^2$と変形できます。

これを因数分解して$\underline{(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)}$となります。

変形だけなら意外と簡単ですね。

そうだね。重要なのはいつ出題されても複$2$次式と「見抜けるか」どうかと、「式変形できるか」だよ。たくさん練習してね！

ここでは複$2$次式の因数分解の問題について解説しました。

考え方自体が凄く難しいというわけではないですが、意外と複$2$次式のことを忘れてしまったり見落としてしまいがちです。

いつ出題されても因数分解できるようになってくださいね！