工夫できる因数分解②

問題

$(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15$を因数分解せよ。

解説

工夫できる因数分解の問題について解説します。

この例題、どのように考えるかな？

うーん。共通部分も無いですし、とりあえず展開するしか思いつかないです。

そうだね。でも何も考えずに展開してしまうと、$4$次式になってしまって因数分解が大変になってしまうね。

どのように考えるべきでしょうか？

複雑な式を因数分解する問題が出題されたときは、基本的にはどこか工夫できるポイントがあると思って考え始めるのが良いです。

もっと言えば、一度展開してしまうと次数が大きくなってしまうような場合は、どこかが共通部分となり文字で置き換えることができそうだと考えられます。

実は、この例題の式は$(x+1)(x+7) \cdot (x+3)(x+5) +15$ $= (x^2+8x+7)(x^2+8x+15) + 15$というように一部を展開することで、$x^2+8x$が共通部分として出てきます。

掛け合わせる順番を変えることで、共通部分ができるように展開できるね。このようなパターンは頻出だから覚えておこう。

$x^2+8x$をここでは$X$と置くと、$(X+7)(X+15)+15$ $=X^2+22x+120$ $= (X+12)(X+10)$となり$X$を戻すと$(x^2+8x+12)(x^2+8x+10)$ $= \underline{(x+2)(x+6)(x^2+8x+10)}$となります。

ここでは工夫できる因数分解の問題について解説しました。

工夫する部分が分かりづらいような因数分解の問題も多くありますが、色々な問題を解いてさまざまなパターンに慣れていきましょう！