工夫できる因数分解①

問題

$(a^2+2a)^2-4(a^2+2a)+3$を因数分解せよ。

解説

工夫できる因数分解の問題について解説します。

式を見て何か気づくかな？

$a^2+2a$が$2$つありますね。

今回の例題のように、式を因数分解する問題で同じ部分、すなわち共通部分があった場合はそこを文字で置きましょう。

この問題では$a^2+2a$が共通しているので、$a^2+2a = X$として考えていきます。

$(a^2+2a)^2-4(a^2+2a)+3 = X^2-4X+3$となりますね。

$X^2-4X+3$を因数分解しましょう。$X^2$の係数が$1$なので、かけて定数項の$3$、たして$X$の係数の$-4$になる$2$つの数を探します。$(-3) \times (-1) = 3$、$(-3)+(-1)=-4$なので$-3$と$-1$が見つかり、$X^2-4X+3=(X-3)(X-1)$となります。

$X=a^2+2a$を元に戻すと、$(a^2+2a-3)(a^2+2a-1)$です。

ここで$a^2+2a-3$はさらに因数分解できます。同じくかけて$-3$、たして$2$になる$2$つの数を探すと、$3 \times (-1)=-3$、$3+(-1)=2$なので、$a^2+2a-3=(a+3)(a-1)$です。

一方、$a^2+2a-1$はかけて$-1$、たして$2$になる整数の組が存在しないため、これ以上因数分解できません。

よって答えは$\underline{(a-1)(a+3)(a^2+2a-1)}$となります。

今回のように$x^2$の係数が$1$のときは「かけて○、たして○」で因数分解できるよ。これは実はたすき掛けの特殊な場合で、$x^2$の係数が$1$だから片方の組が$(1, 1)$に固定されて、もう片方の組だけ探せばいいんだ。

でも、置き換えしなくても因数分解自体はできますよね？

そうだね。でも、工夫した方が計算量は格段に少なくなる場合が多いよ。共通部分を見つけたときは積極的に置き換えていこう。

分かりました！

ここでは工夫できる因数分解の問題について解説しました。

式を展開する問題でも因数分解する問題でも、基本的には共通部分は置き換えて考えた方が良いです。

置き換える部分が分かりづらくなっているような問題もあるので、色々な問題で練習してくださいね。