整数部分と小数部分

問題

$(1)\quad \sqrt{5}$の整数部分と小数部分を求めよ。

$(2)\quad \sqrt{5}$の小数部分を$a$とするとき、$a+\dfrac{1}{a}$の値を求めよ。

解説

実数の整数部分と小数部分の問題について解説します。

整数部分と小数部分ってどういう意味ですか？

まずは定義をしっかり確認しよう！

簡単に言うと、ある数を超えない最大の整数が整数部分だよ。

例えば$3.14$なら整数部分は$3$、小数部分は$3.14 - 3 = 0.14$だね。

なるほど！でも$\sqrt{5}$は小数で正確に表せないですよね？

そうだね。だから$\sqrt{5}$がどの整数の間にあるか考えるんだ。

$\sqrt{5}$の整数部分を求めるには、$\sqrt{5}$がどの連続する$2$つの整数の間にあるかを調べます。

$2$乗の値を比較すると、

各辺正なので平方根をとって、

つまり$\sqrt{5}$は$2$と$3$の間にある数だから、$\sqrt{5}$を超えない最大の整数は$2$だね。

よって$\sqrt{5}$の整数部分は $\underline{2}$ です。

小数部分は（もとの数）$-$（整数部分）なので、

よって小数部分は $\underline{\sqrt{5}-2}$ です。

小数部分が$\sqrt{5}-2$のように根号を含む式になるんですね！

そうだよ。無理数の小数部分は、このように根号を含む形で表すのがポイントだね。

$(1)$より$a = \sqrt{5} - 2$です。

まず$\dfrac{1}{a}$を計算します。

分母に根号があるから、有理化しよう！

分母と分子に$\sqrt{5}+2$を掛けて有理化すると、

分母が$1$になってきれいになりましたね！

したがって、

$-2$と$+2$が打ち消し合って、とてもきれいな答えになったね。

分母の有理化は頻出テクニックだから、しっかり身につけよう！

ここでは実数の整数部分と小数部分について学習しました。

整数部分を求めるには、$2$乗して根号を外し、どの整数の間にあるかを調べます。

小数部分は「もとの数$-$整数部分」で求められます。分母の有理化と合わせてマスターしてくださいね！