逆・裏・対偶の関係

問題

命題「$x=2$ ならば $x^2=4$」について、次の問いに答えよ。

$(1)\quad$ この命題の逆・裏・対偶をそれぞれ述べよ。

$(2)\quad$ 元の命題とその逆・裏・対偶の真偽をそれぞれ調べよ。

解説

逆・裏・対偶の関係について解説します。

逆とか裏とか対偶って、違いがよく分からなくなってしまいます...

大丈夫！定義をしっかり覚えれば簡単だよ。まずは基本を確認しよう。

なるほど。「逆」は入れ替え、「裏」は否定、「対偶」は両方やるんですね！

その通り！覚え方として「対偶 = 逆の裏 = 裏の逆」と考えるといいよ。

元の命題は「$p$：$x=2$」ならば「$q$：$x^2=4$」という形です。

定義に従って求めていきましょう。

1. 逆（$q \Rightarrow p$）：「$x^2=4$ ならば $x=2$」
2. 裏（$\overline{p} \Rightarrow \overline{q}$）：「$x \neq 2$ ならば $x^2 \neq 4$」
3. 対偶（$\overline{q} \Rightarrow \overline{p}$）：「$x^2 \neq 4$ ならば $x \neq 2$」

真偽を調べる前に、重要な性質を確認しておこう。

元の命題と対偶が同じ真偽になるんですね！

その通り。だから難しい命題の真偽を調べるときは、対偶を考えると楽になることが多いんだ。

では、真偽を調べていきましょう。

$\textbf{【元の命題】}$ 「$x=2$ ならば $x^2=4$」

$x=2$ のとき $x^2=2^2=4$ となるので、これは$\underline{真}$です。

$\textbf{【逆】}$ 「$x^2=4$ ならば $x=2$」

$x^2=4$ を満たす$x$は $x=\pm 2$ です。$x=-2$ のとき $x \neq 2$ なので、これは$\underline{偽}$です。

$x=-2$ が反例になっているね。命題が偽であることを示すには、反例を1つ挙げればいいんだ。

$\textbf{【裏】}$ 「$x \neq 2$ ならば $x^2 \neq 4$」

$x=-2$ のとき $x \neq 2$ だけど $x^2=4$ となるので、これは$\underline{偽}$です。

あ、逆と裏が両方偽になりました！

さっき言った通り、逆と裏は同値だからね。片方が偽ならもう片方も偽になるよ。

$\textbf{【対偶】}$ 「$x^2 \neq 4$ ならば $x \neq 2$」

元の命題が真なので、対偶も$\underline{真}$です。

実際に確認すると、$x^2 \neq 4$（つまり$x \neq 2$ かつ $x \neq -2$）のとき、確かに$x \neq 2$ が成り立ちます。

結果をまとめると、次のような関係になっているよ。

元の命題が真でも、逆は必ずしも真ではないんですね。

いいところに気づいたね！「元の命題が真 → 逆も真」は成り立たないことが多いから注意しよう。

ここでは、命題の逆・裏・対偶について学習しました。

重要なポイントは「元の命題と対偶は同値」「逆と裏は同値」という関係です。

対偶を使った証明は数学でよく使われるので、しっかりマスターしてくださいね！