絶対値を含む1次不等式

問題

次の不等式を解け。

解説

絶対値を含む$1$次不等式の問題について解説します。

はじめに、絶対値の性質について確認しておきましょう。

右辺が正の定数の場合、以下の性質を用いることで絶対値記号を外すことができます。

これを踏まえ、実際に問題を解説していきます。

右辺が正の定数なので、絶対値の性質より$|x| \leqq 3 \iff \underline{-3 \leqq x \leqq 3}$となります。

右辺が$x+4$で正の定数ではないので絶対値の性質は使えないですね。

そうだね。この場合は絶対値記号の中身の正負に応じて場合分けするのが基本なんだけれど、実は以下に示すような絶対値の外し方もあるんだ。

この外し方を使ってこの問題を考えてみよう。

$|X| < Y \iff -Y<X<Y$より$3|x-2| \leqq x+4 \iff -(x+4) \leqq 3(x-2) \leqq x+4$とできますね。

$-(x+4) \leqq 3(x-2)$より$\frac{1}{2} \leqq x \cdots (1)$

$3(x-2) \leqq x+4$より$x \leqq 5 \cdots (2)$

$(1)$と$(2)$の共通範囲を考えて、$\underline{\frac{1}{2} \leqq x \leqq 5}$となります。

絶対値記号の中身の正負で場合分けして考えるやり方も紹介しておくね。

どちらの方法で解けばいいんですか？

初めに紹介した$|X| < Y \iff -Y<X<Y$を使う解法の方が場合分けしなくて済む分少し楽だね。でもこの外し方を知っていないと使えないから、もし分からない場合は絶対値記号の中身の正負に応じて場合分けすればOKだよ。

分かりました！

それでは次の問題を見ていきます。

$(2)$と同様に解法は$2$つあるよ。$2$つとも紹介するね！

$2x+3 < -(-x+6)$または$-x+6 < 2x+3$が成り立てばよいですね。

$2x+3 < -(-x+6)$より$x<-9 \cdots (1)$

$-x+6 < 2x+3$より$1<x \cdots (2)$

$(1)$、$(2)$より$\underline{x < -9, \; 1<x}$となります。

ここでは絶対値を含む$1$次不等式の問題について解説しました。

今回紹介した絶対値記号の外し方は$2$つありますが、どちらも非常に重要なものです。

どちらも使いこなせるようになっておきましょう。