絶対値を含む1次方程式

問題

次の方程式を解け。

解説

絶対値を含む$1$次方程式の問題について解説します。

この問題は、次に示す絶対値の性質を使って考えよう。

この性質を用いれば、$2x+5 = \pm 7$

$2x=-5 \pm 7$を計算して、$x= \underline{-6,\; 1}$となります。

それでは次の問題を見ていきましょう。

えーっと、同じように$x+2 = \pm 5x$となるから$\cdots$

ちょっと待って。$|x|=a \iff x= \pm a$は$a>0$のときのみ成り立つ性質だったよね。

$5x >0$であるかどうかは分からないから、その性質は使えないんだ。

ではどのように考えれば良いですか？

絶対値記号の中身が正のときと負のときで場合分けするのが基本なんだけれど、実はこの$(2)$のような場合では次に示すような絶対値の外し方があるんだ。

なんか、$|x|=a \iff x= \pm a$と似てますね。

そうだね。右辺が正でない場合は$Y\geqq 0$という条件があれば成り立つんだ。似てるから間違えないように注意しておこう。

それではこの外し方を使って$(2)$を考えていきます。

$x+2 = \pm 5x$より$x = \frac{1}{2}, \; -\frac{1}{3}$

ただし、$5x>0$より$x>0$となるので求める$x$は$x = \underline{\frac{1}{2}}$となります。

もちろん、絶対値記号の中身の正負で場合分けして考えてもOKだよ。その解答例も示しておくね。

ここでは絶対値を含む$1$次方程式の問題について解説しました。

絶対値の扱い方に慣れていないと難しく感じるかもしれませんが、理解できればそこまで難しくはないかと思います。

色々な問題を解いて練習してくださいね！