球面の方程式は、中心と半径からどう書くの？

球面のベクトル方程式では、空間ベクトルについて、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

平方完成で中心と半径を読むとき、どこを見ればいいの？

球面のベクトル方程式では、空間ベクトルについて、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

球面のベクトル方程式では、空間ベクトルについて、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

このページのまとめ

球面のベクトル方程式の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

中心と半径の答えと条件を先に確認できます。

$(1)\quad$ 中心が $(1, -2, 3)$ で半径が $4$ の球面の方程式を求めよ。

$(2)\quad$ 方程式 $x^2+y^2+z^2-4x+6y-2z-2=0$ はどのような図形を表すか。中心の座標と半径を求めよ。

$(3)\quad 2$ 点 $A(1, 3, -1),\; B(5, -1, 3)$ を直径の両端とする球面の方程式を求めよ。

(1)\; \underline{(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16}

$(2)\;$ 中心 $\underline{(2, -3, 1)}$ 、半径 $\underline{4}$ の球面

(3)\; \underline{(x-3)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=12}

球面のベクトル方程式について解説します。

球面の方程式は $2$ 次元の「円の方程式」の拡張だよ。円 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ に $z$ の項が加わっただけだね。

$(1)\quad$ 中心が $(1, -2, 3)$ で半径が $4$ の球面の方程式を求めよ。

公式にそのまま当てはめます。中心 $(a, b, c)=(1, -2, 3)$ 、半径 $r=4$ なので

\underline{(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16}

$y$ 座標が $-2$ だから $(y-(-2))^2=(y+2)^2$ となることに注意してね。符号のミスが多いところだよ。

$(2)\quad$ 方程式 $x^2+y^2+z^2-4x+6y-2z-2=0$ はどのような図形を表すか。

展開された形になっていますね。どうすれば中心と半径が分かりますか？

平方完成をすればいいんだ。 $x, y, z$ それぞれについて平方完成するよ。

$x, y, z$ それぞれについて平方完成します。

x^2-4x+y^2+6y+z^2-2z=2

(x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)+(z^2-2z+1)=2+4+9+1

(x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=16

これは中心 $(2, -3, 1)$ 、半径 $4$ の球面です。

平方完成のコツは、 $x^2-4x$ の場合、 $-4$ の半分の $-2$ を $2$ 乗して $4$ を足す、ということだよ。 $y$ や $z$ も同じやり方だね。

$(3)\quad 2$ 点 $A(1, 3, -1),\; B(5, -1, 3)$ を直径の両端とする球面の方程式を求めよ。

直径の両端が与えられた場合、何を求めればいいですか？

中心は直径の中点、半径は中心から端点までの距離だよ。

まず、中心は $A$ と $B$ の中点です。

C=\left(\frac{1+5}{2},\; \frac{3+(-1)}{2},\; \frac{-1+3}{2}\right)=(3, 1, 1)

次に、半径は $|CA|$ で求めます。

r=|CA|=\sqrt{(1-3)^2+(3-1)^2+(-1-1)^2}

=\sqrt{4+4+4}

=\sqrt{12}

=2\sqrt{3}

よって、中心 $(3, 1, 1)$ 、半径 $2\sqrt{3}$ の球面の方程式は

\underline{(x-3)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=12}

$r^2=12$ だから、右辺は $12$ になるんですね。 $2\sqrt{3}$ を $2$ 乗して $(2\sqrt{3})^2=12$ ですね！

その通り！球面の方程式の右辺は $r^2$ であることを忘れないようにしよう。

このページのまとめ

ここでは球面のベクトル方程式について学習しました。

球面の方程式は円の方程式を $3$ 次元に拡張したものです。標準形 $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$ と一般形 $x^2+y^2+z^2+lx+my+nz+k=0$ の間を平方完成で行き来できるようにしましょう！

アプリで続ける

この問題に関するよくある疑問への回答や、解法のポイントをまとめた「解法の鍵」はアプリに収録しています。類題演習やAIへの質問もアプリから使えます。球面のベクトル方程式 に近い内容をそのまま続けられます。

よくある質問解法の鍵類題演習 AIに質問

ストアからダウンロードして、同じ単元の演習やAI質問をそのまま続けられます。