平面のベクトル方程式

問題

$(1)\quad$点$A(1, 2, -1)$を通り、法線ベクトル$\vec{n}=(2, -3, 1)$の平面の方程式を求めよ。

$(2)\quad 3$点$A(1, 0, 0),\; B(0, 2, 0),\; C(0, 0, 3)$を通る平面の方程式を求めよ。

$(3)\quad$点$P(3, 1, -2)$から$(1)$の平面までの距離を求めよ。

解説

空間における平面のベクトル方程式について解説します。

法線ベクトルって何ですか？

法線ベクトルは平面に垂直なベクトルのことだよ。平面上のどんなベクトルとも垂直になるんだ。

平面上の任意の点$P(x, y, z)$に対して、$\vec{AP}=(x-1, y-2, z+1)$は法線ベクトル$\vec{n}=(2, -3, 1)$と垂直です。

つまり$\vec{n} \cdot \vec{AP}=0$が成り立ちます。

よって$\underline{2x-3y+z=-5}$となります。

$3$点が与えられた場合はどうすればいいですか？

$2$つの方法があるよ。$1$つは$\vec{p}=\vec{a}+s\vec{AB}+t\vec{AC}$から$s, t$を消去する方法。もう$1$つは$ax+by+cz=d$に$3$点を代入する方法だよ。今回は後者でやってみよう。

平面の方程式を$ax+by+cz=d$とおいて、$3$点を代入します。

$A(1, 0, 0)$を代入: $a=d$

$B(0, 2, 0)$を代入: $2b=d$

$C(0, 0, 3)$を代入: $3c=d$

これより$a=d,\; b=\frac{d}{2},\; c=\frac{d}{3}$となります。$d=6$とおくと

よって$\underline{6x+3y+2z=6}$となります。

ちなみにこの平面は$\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$とも書けるよ。これは$x, y, z$軸との切片がそれぞれ$1, 2, 3$であることを表しているんだ。

平面$2x-3y+z=-5$を$2x-3y+z+5=0$の形に書き直して公式に当てはめます。

この公式、平面版の「点と直線の距離」と似ていますね！

いい気づきだね！$2$次元の「点と直線の距離」の公式が$3$次元に拡張されたものなんだ。

ここでは空間における平面のベクトル方程式と点と平面の距離について学習しました。

法線ベクトル$\vec{n}$と通る点が分かれば平面の方程式が求められます。

点と平面の距離の公式も重要なので、しっかりマスターしていきましょう！