4点が同一平面上にある条件

問題

座標空間において$4$点$A(3,\; -2,\; 0),\;$ $B(4,\; -1,\; 0),\;$ $C(1,\; 1,\; -1),\;$ $D(x,\; 1-x,\; -1)$がありこの$4$点が同一平面上にあるとするとき、定数$x$の値を求めよ。

解説

空間ベクトルの問題を解説します。

まずは、4点が同一平面上にある条件を確認しておきましょう。

2つありますがどちらの条件を使うのがいいんですか？

どちらを使ってもOKだよ。ここでは、前者を使った解法を紹介するね。

まず、$A,B,C$の$3$点が同一直線上にないことを確認しておきましょう。

$\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=$ $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\vec{AC}=\vec{OC}-\vec{OA}=$ $\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$

とそれぞれ計算できます。$A,B,C$の$3$点が同一直線上にあるためには、$\vec{AC}=k\vec{AB}$を満たすような実数$k$が存在すればいいんでしたね。

今回は同一直線上にないことを確認したいため、このような実数$k$は存在しないはずだという考えのもとで立式してみると、

$\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$を満たすような実数$k$は確かに存在しないので、$3$点$A,B,C$が同一直線上にないことが確認できました。

なぜ$A,B,C$の$3$点が同一直線上にないことを確認する必要があるんですか？

$A,B,C$の$3$点が同一直線上にあった場合、$D$が座標空間内のどこにあったとしても$4$点が同一平面上にあることになるんだ。つまり$D$がどこにあっても良いということになって、問題として成り立たないよね。

この確認は必ずした方がいいですか？

今回の例題であれば「定数$x$を求めよ」と言われていて、$x$が定数になることが確定しているから$A,B,C$が同一直線上にあるということはあり得ないから確認しなくても良いけれど、他の問題で答えが「任意の$x$」となる場合も考えられるから毎回確認する癖をつけておこう。

分かりました！

あとは、$\vec{AD}=s\vec{AB}+t\vec{AC}$ を満たす実数$s,t$が存在するような定数$x$の値を求めれば良いですね。

$\begin{pmatrix} x-3 \\ 3-x \\ -1 \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$より

これを整理して$s=-\frac{1}{2},\; t=1$となるので求める$x$は$x=\underline{\frac{1}{2}}$となります。

ここでは空間ベクトルの問題について解説しました。

4点が同一平面上にある条件は頻繁に使います。必ずマスターしていつでも使いこなせるようになっておきましょう！