空間ベクトルのなす角度

問題

$\vec{a}=(2,-2,1), \vec{b}=(0,-1,1)$であるとき、$\vec{a}と\vec{b}$のなす$角\theta(0° \leqq \theta \leqq 180°)$を求めよ。

解説

空間ベクトルの問題について解説します。

2つのベクトルのなす角度を求める問題ですね。

ベクトルの分野で角度を求める問題といえば、何か思いつく単語はあるかな？

「内積」です！

平面ベクトルでも同じような問題がありますが、「ベクトル」の分野で角度と言われたら内積を思い出せるようにしましょう。

具体的には、以下の公式を使って角度を求めます。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|cos \theta$を変形すると$cos\theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$となるので2つのベクトルの大きさとその内積が分かれば${ cos\theta}の$値を求めることができますね。

念のため空間ベクトルの大きさを求める公式も確認しておきます。

$\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$=(2\cdot 0)+\{(-2)\cdot (-1)\}+(1\cdot 1)$ $=2+1=3と$なりますね。

$より{\cos\theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}}$と分かります。

$0° \leqq \theta \leqq 180°$ なので答えは$\underline{\theta=45°}$となります。

ここでは空間ベクトルのなす角度について解説しました。

平面ベクトルの問題と考え方は全く同じです。「角度」という言葉がベクトルの分野で言われたら「内積」を思い出せるようになりましょう！