3次元ベクトルの計算も、2次元と同じでいいの？

空間ベクトルの成分では、空間ベクトルについて、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

2a-3bを成分ごとに計算するときの順番を知りたい

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このページのまとめ

空間ベクトルの成分の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

3次元の成分表示の答えと条件を先に確認できます。

$\vec{a}=(2, -1, 3),\; \vec{b}=(-1, 4, 2)$ のとき、次の値を求めよ。

(1)\quad 2\vec{a}-3\vec{b}

(2)\quad |\vec{a}|,\; |\vec{b}|

(3)\quad |2\vec{a}-3\vec{b}|

(1)\; 2\vec{a}-3\vec{b}=\underline{(7, -14, 0)}

(2)\; |\vec{a}|=\underline{\sqrt{14}},\; |\vec{b}|=\underline{\sqrt{21}}

(3)\; |2\vec{a}-3\vec{b}|=\underline{7\sqrt{5}}

空間ベクトルの成分と演算について解説します。

平面ベクトルでは成分が2つだったけど、空間ベクトルでは成分が3つになるよ。基本的な考え方は同じだから安心してね。

(1)\quad 2\vec{a}-3\vec{b}

まず、 $2\vec{a}$ と $3\vec{b}$ をそれぞれ計算します。

2\vec{a}=2(2, -1, 3)=(4, -2, 6)

3\vec{b}=3(-1, 4, 2)=(-3, 12, 6)

よって、 $2\vec{a}-3\vec{b}=(4-(-3),\; -2-12,\; 6-6)=\underline{(7, -14, 0)}$ となります。

各成分ごとに計算すればOKだよ。符号に気を付けてね！

(2)\quad |\vec{a}|,\; |\vec{b}|

ベクトルの大きさは各成分の2乗の和の平方根で求められます。

|\vec{a}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}

=\sqrt{4+1+9}

=\underline{\sqrt{14}}

|\vec{b}|=\sqrt{(-1)^2+4^2+2^2}

=\sqrt{1+16+4}

=\underline{\sqrt{21}}

(3)\quad |2\vec{a}-3\vec{b}|

$(1)$ で $2\vec{a}-3\vec{b}=(7, -14, 0)$ と求めたので、この大きさを計算します。

|2\vec{a}-3\vec{b}|=\sqrt{7^2+(-14)^2+0^2}

=\sqrt{49+196}

=\sqrt{245}

=\underline{7\sqrt{5}}

$\sqrt{245}$ はどうやって簡単にするんですか？

$245=49 \times 5=7^2 \times 5$ だから、 $\sqrt{245}=7\sqrt{5}$ となるよ。平方根の計算では素因数分解が大事だね。

このページのまとめ

ここでは空間ベクトルの成分表示と演算について学習しました。

平面ベクトルとの違いは成分が3つになることだけです。各成分ごとに計算すればよいので、落ち着いて計算していきましょう！

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