空間でも内分点や重心の考え方は同じなの？

空間の位置ベクトルでは、空間ベクトルについて、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

3点から点の座標を求めるとき、どの公式を選べばいいの？

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このページのまとめ

空間の位置ベクトルの要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

空間での点の表現の答えと条件を先に確認できます。

座標空間に $3$ 点 $A(1, 2, 3),\; B(4, -1, 0),\; C(-2, 5, 6)$ がある。次の点の座標を求めよ。

$(1)\quad$ 線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点 $P$

$(2)\quad$ 線分 $AB$ を $3:1$ に外分する点 $Q$

$(3)\quad \triangle ABC$ の重心 $G$

(1)\; P=\underline{(3, 0, 1)}

(2)\; Q=\underline{\left(\frac{11}{2}, -\frac{5}{2}, -\frac{3}{2}\right)}

(3)\; G=\underline{(1, 2, 3)}

空間における位置ベクトルについて解説します。

位置ベクトルって平面のときにもやりましたよね？空間だと何か違うんですか？

公式は全く同じだよ。成分が $3$ つになるだけだから安心してね。

$(1)\quad$ 線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点 $P$

内分点の公式に $m=2,\; n=1$ を当てはめます。

\vec{OP}=\frac{1 \cdot \vec{OA}+2 \cdot \vec{OB}}{2+1}

=\frac{(1, 2, 3)+2(4, -1, 0)}{3}

=\frac{(1+8,\; 2-2,\; 3+0)}{3}

=\frac{(9, 0, 3)}{3}

=\underline{(3, 0, 1)}

$(2)\quad$ 線分 $AB$ を $3:1$ に外分する点 $Q$

外分点の公式はちょっと苦手です...

外分は内分と符号が $1$ つ変わるだけだよ。 $n$ の方にマイナスが付くと覚えておこう。

外分点の公式に $m=3,\; n=1$ を当てはめます。

\vec{OQ}=\frac{-1 \cdot \vec{OA}+3 \cdot \vec{OB}}{3-1}

=\frac{-(1, 2, 3)+3(4, -1, 0)}{2}

=\frac{(-1+12,\; -2-3,\; -3+0)}{2}

=\frac{(11, -5, -3)}{2}

=\underline{\left(\frac{11}{2}, -\frac{5}{2}, -\frac{3}{2}\right)}

$(3)\quad \triangle ABC$ の重心 $G$

重心は $3$ 頂点の座標の平均です。

\vec{OG}=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{3}

=\frac{(1, 2, 3)+(4, -1, 0)+(-2, 5, 6)}{3}

=\frac{(1+4-2,\; 2-1+5,\; 3+0+6)}{3}

=\frac{(3, 6, 9)}{3}

=\underline{(1, 2, 3)}

あれ、重心が点 $A$ と同じ座標になりました！

偶然だけど面白いね。計算は合っているよ。重心は各成分の平均だから、 $x$ 座標は $\frac{1+4-2}{3}=1$ 、 $y$ 座標は $\frac{2-1+5}{3}=2$ 、 $z$ 座標は $\frac{3+0+6}{3}=3$ で確かに $(1, 2, 3)$ だね。

このページのまとめ

ここでは空間における位置ベクトルの内分点・外分点・重心について学習しました。

公式は平面ベクトルと全く同じで、成分が $3$ つになるだけです。

外分点の符号に注意して、たくさん練習しましょう！

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