空間の直線のベクトル方程式は、どうやって作るの？

直線のベクトル方程式（空間）では、空間ベクトルについて、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

方向ベクトルが与えられたら、tはどう使うの？

直線のベクトル方程式（空間）では、空間ベクトルについて、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

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このページのまとめ

直線のベクトル方程式（空間）の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

空間の直線の表現の答えと条件を先に確認できます。

$(1)\quad$ 点 $A(1, 2, -1)$ を通り、方向ベクトル $\vec{d}=(2, -1, 3)$ の直線の方程式を求めよ。

$(2)\quad 2$ 点 $A(1, 3, 2),\; B(3, -1, 4)$ を通る直線の方程式を求めよ。

$(3)\quad (2)$ の直線上の点で $z$ 座標が $8$ である点の座標を求めよ。

(1)\; \underline{\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{3}}

(2)\; \underline{\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z-2}{2}}

(3)\; \underline{(7, -9, 8)}

空間における直線のベクトル方程式について解説します。

$(1)\quad$ 点 $A(1, 2, -1)$ を通り、方向ベクトル $\vec{d}=(2, -1, 3)$ の直線の方程式を求めよ。

通る点と方向ベクトルが与えられているので、公式にそのまま当てはめることができます。

媒介変数表示では

\begin{cases} x=1+2t \\ y=2-t \\ z=-1+3t \end{cases}

となります。 $t$ を消去すると

\underline{\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{3}}

$z$ の部分で $z-(-1)=z+1$ となることに注意しよう。符号のミスが起きやすいところだよ。

$(2)\quad 2$ 点 $A(1, 3, 2),\; B(3, -1, 4)$ を通る直線の方程式を求めよ。

$2$ 点を通る直線はどうやって求めるんですか？

$2$ 点が分かれば方向ベクトルが求められるよね。 $\vec{AB}$ が方向ベクトルになるんだ。

方向ベクトルとして $\vec{AB}$ を求めます。

\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=(3-1,\; -1-3,\; 4-2)=(2, -4, 2)

点 $A(1, 3, 2)$ を通り方向ベクトル $(2, -4, 2)$ の直線なので

\underline{\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z-2}{2}}

方向ベクトル $(2, -4, 2)$ は $(1, -2, 1)$ と簡単にすることもできるよ。どちらで書いてもOKだよ。

$(3)\quad (2)$ の直線上の点で $z$ 座標が $8$ である点の座標を求めよ。

$(2)$ の直線を媒介変数表示で書くと

\begin{cases} x=1+2t \\ y=3-4t \\ z=2+2t \end{cases}

となります。 $z=8$ とすると $2+2t=8$ 、つまり $t=3$ です。

これを $x, y$ に代入すると

x=1+2 \times 3=7,\quad y=3-4 \times 3=-9

よって、求める点の座標は $\underline{(7, -9, 8)}$ です。

媒介変数表示にすると、条件を入れて座標を求めるのが簡単ですね！

そうだね。直線上の特定の点を求めたいときは、媒介変数表示が便利だよ。

このページのまとめ

ここでは空間における直線のベクトル方程式について学習しました。

「通る点」と「方向ベクトル」が分かれば直線の方程式が書けます。 $2$ 点が与えられた場合は $\vec{AB}$ を方向ベクトルにしましょう。

媒介変数表示と $\frac{x-a_1}{l}=\frac{y-a_2}{m}=\frac{z-a_3}{n}$ の形の両方を使いこなせるようになりましょう！

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