3次元の内積も、成分を掛けて足すだけでいいの？

空間の内積では、空間ベクトルについて、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

なす角を出すときに、どうしてcosを使うの？

空間の内積では、空間ベクトルについて、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

空間の内積では、空間ベクトルについて、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

このページのまとめ

空間の内積の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

3次元での内積計算の答えと条件を先に確認できます。

$\vec{a}=(1, 0, 1),\; \vec{b}=(-1, 1, 0)$ のとき、次の値を求めよ。

(1)\quad \vec{a} \cdot \vec{b}

$(2)\quad \vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta \;(0° \leqq \theta \leqq 180°)$

(1)\; \vec{a} \cdot \vec{b}=\underline{-1}

(2)\; \underline{\theta=120°}

空間ベクトルの内積となす角について解説します。

平面ベクトルでは成分が $2$ つでしたが、空間ベクトルでは成分が $3$ つになります。内積の求め方は全く同じで、対応する成分の積の和です。

$(1)\quad \vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。

内積の公式に当てはめて計算します。

\vec{a} \cdot \vec{b}=1 \times (-1)+0 \times 1+1 \times 0

=-1+0+0

=\underline{-1}

内積の値が負になったね。これは $2$ つのベクトルのなす角が鈍角であることを意味しているよ。

$(2)\quad \vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

なす角を求めるには $\cos\theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ の公式を使います。

まず、各ベクトルの大きさを求めましょう。

|\vec{a}|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}

|\vec{b}|=\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}

$(1)$ の結果と合わせて $\cos\theta$ の値を求めます。

\cos\theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

=\frac{-1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}

=\frac{-1}{2}

=-\frac{1}{2}

$0° \leqq \theta \leqq 180°$ の範囲で $\cos\theta=-\frac{1}{2}$ を満たすのは $\underline{\theta=120°}$ です。

内積が分かれば角度が求まるんですね！

その通り！「ベクトルのなす角」と聞いたら内積を思い出そう。この流れは平面ベクトルでも空間ベクトルでも全く同じだよ。

このページのまとめ

ここでは空間ベクトルの内積となす角の求め方について学習しました。

内積の計算 $\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3$ と、なす角の公式 $\cos\theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ はセットで覚えておきましょう！

アプリで続ける

この問題に関するよくある疑問への回答や、解法のポイントをまとめた「解法の鍵」はアプリに収録しています。類題演習やAIへの質問もアプリから使えます。空間の内積 に近い内容をそのまま続けられます。

よくある質問解法の鍵類題演習 AIに質問

ストアからダウンロードして、同じ単元の演習やAI質問をそのまま続けられます。