ベクトルの大きさは、なぜ平方根で求めるの？

ベクトルの大きさでは、平面ベクトルについて、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

単位ベクトルにすると、何が便利になるの？

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このページのまとめ

ベクトルの大きさの要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

$|\vec{a}|$の計算と単位ベクトルの答えと条件を先に確認できます。

$\vec{a}=(3,\; 4),\; \vec{b}=(-1,\; 2)$ について、次の問いに答えよ。

$(1)\quad |\vec{a}|,\; |\vec{b}|$ を求めよ。

$(2)\quad \vec{a}$ と同じ向きの単位ベクトル $\vec{e}$ を求めよ。

$(3)\quad |2\vec{a}-3\vec{b}|$ を求めよ。

(1)\; |\vec{a}|=\underline{5},\quad |\vec{b}|=\underline{\sqrt{5}}

(2)\; \vec{e}=\underline{\left(\frac{3}{5},\; \frac{4}{5}\right)}

(3)\; |2\vec{a}-3\vec{b}|=\underline{\sqrt{85}}

ベクトルの大きさと単位ベクトルについて解説します。

$(1)\quad |\vec{a}|,\; |\vec{b}|$ を求めよ。（ $\vec{a}=(3,\; 4),\; \vec{b}=(-1,\; 2)$ ）

公式に当てはめると、

|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=\underline{5}

|\vec{b}|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\underline{\sqrt{5}}

$\vec{a}=(3,\; 4)$ は有名なピタゴラス数 $3,\; 4,\; 5$ だから、大きさが $5$ になるよ。

$(2)\quad \vec{a}$ と同じ向きの単位ベクトル $\vec{e}$ を求めよ。

単位ベクトルって何ですか？

大きさが $1$ のベクトルのことだよ。

元のベクトルをその大きさで割れば求められるんだ。

$\vec{a}$ の大きさは $|\vec{a}|=5$ なので、

\vec{e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{1}{5}(3,\; 4)=\underline{\left(\frac{3}{5},\; \frac{4}{5}\right)}

確認のため、 $|\vec{e}|=\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{9+16}{25}}=\sqrt{1}=1$ となり、確かに大きさは $1$ ですね。

$(3)\quad |2\vec{a}-3\vec{b}|$ を求めよ。

まず $2\vec{a}-3\vec{b}$ の成分を求めます。

2\vec{a}-3\vec{b}

=2(3,\; 4)-3(-1,\; 2)

=(6,\; 8)-(-3,\; 6)

=(9,\; 2)

よって、 $|2\vec{a}-3\vec{b}|=|(9,\; 2)|=\sqrt{9^2+2^2}=\sqrt{81+4}=\underline{\sqrt{85}}$

ベクトルの大きさを求めるときは、まず成分を計算してから大きさを求めるのが基本だよ。

このページのまとめ

ここではベクトルの大きさと単位ベクトルについて学習しました。

ベクトルの大きさは $\sqrt{各成分の2乗の和}$ で求められます。

単位ベクトルは元のベクトルを大きさで割ることで得られるので、公式を使いこなせるようにしましょう！

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