平行条件と垂直条件

問題

2つのベクトル$\vec{a}=(1,\; x)$と$\vec{b} =(2, \; -1)$について、次の値を求めよ。

$(1)\; \vec{a}+\vec{b}$と$2\vec{a}-3\vec{b}$が垂直であるときの$x$の値

$(2)\; \vec{a}+\vec{b}$と$2\vec{a}-3\vec{b}$が平行であるときの$x$の値

解説

平行条件と垂直条件の問題について解説します。

まずは、ベクトルが平行になるときと垂直になるときの条件について確認しておきましょう。

これをふまえて、問題を解説していきます。

まずは、$\vec{a}+\vec{b}$と$2\vec{a}-3\vec{b}$の値を計算しておきましょう。

というように計算することができますね。

次に、2つのベクトルが垂直になる条件を考えていきます。

2つのベクトルが垂直になるということは、2つのベクトルの内積が$0$になるということだったね。

$\vec{a}+\vec{b}$と$2\vec{a}-3\vec{b}$の内積が$0$になればよいので、先ほど求めた値を使うと$\begin{pmatrix} 3 \\ x-1 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}-4\\2x+3\end{pmatrix}=0$となれば良いことが分かります。

よって、$-12+(x-1)(2x+3) = 0$が成り立てばよいのでこれを計算すると$x=\underline{\frac{5}{2},\; -3}$となります。

と$(1)$で求めた値を使い、次は平行になる条件を考えます。平行条件についてもう一度確認しておきましょう。

平行条件って2つの表し方があるんですね。どちらを使えばいいんですか？

どちらを使っても大丈夫だよ。覚えやすい方をどちらか覚えておこう。

今回は${\vec{b} = k \vec{a}\;(k \neq 0)}となる実数{ k}が存在する$ことを利用して考えてみます。

最初に、2つのベクトル$\begin{pmatrix} 3 \\ x-1 \end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix}-4\\2x+3\end{pmatrix}$が$0$でないことを確認します。

2つのベクトルが零（ゼロ）ベクトルでないことを確認することを忘れないようにね。

$\begin{pmatrix} 3 \\ x-1 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix}-4\\2x+3\end{pmatrix}$が成り立てばよいので、

$2$式から$k$を消去して整理すると$x=\underline{-\frac{1}{2}}$となります。

ここでは平行条件と垂直条件の問題について解説しました。

平行条件と垂直条件はベクトルの問題を解いていると色々なところで使うので、必ずマスターしてくださいね！