直線のベクトル方程式って、普通の直線の式とどう違うの？

直線のベクトル方程式では、平面ベクトルについて、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

方向ベクトルが分かれば、どうやって式を作るの？

直線のベクトル方程式では、平面ベクトルについて、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

点と方向ベクトルから直線を表す流れを知りたい

直線のベクトル方程式では、平面ベクトルについて、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

直線のベクトル方程式の解き方 | 数学Cの学習ノート

このページのまとめ

先に押さえておくこと

直線のベクトル方程式の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

テーマ: 媒介変数表示
ポイント: 平面ベクトルの要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

次の直線のベクトル方程式を求めよ。

$(1)\quad$ 点 $A(2,\; 3)$ を通り、方向ベクトル $\vec{d}=(1,\; -2)$ の直線

$(2)\quad 2$ 点 $A(1,\; 4),\; B(3,\; -2)$ を通る直線

$(3)\quad (2)$ の直線上で、 $AB$ を $1:2$ に内分する点 $P$ の座標を求めよ。

答えを見る

(1)\; \vec{p}=\underline{(2+t,\; 3-2t)}

(2)\; \vec{p}=\underline{(1-t)(1,\; 4)+t(3,\; -2)}

すなわち $\vec{p}=\underline{\left(1+2t,\; 4-6t\right)}$

(3)\; P=\underline{\left(\frac{5}{3},\; 2\right)}

解説

直線のベクトル方程式について解説します。

直線のベクトル方程式って、普通の直線の式と何が違うんですか？

ベクトル方程式は媒介変数 $t$ を使って点の位置を表すんだ。

$t$ の値を変えると直線上の点が動くイメージだよ。

$(1)\quad$ 点 $A(2,\; 3)$ を通り、方向ベクトル $\vec{d}=(1,\; -2)$ の直線のベクトル方程式を求めよ。

点 $A$ を通り方向ベクトル $\vec{d}$ の直線は $\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}$ で表されるので、

\vec{p}=(2,\; 3)+t(1,\; -2)

=\underline{(2+t,\; 3-2t)}

この直線を図で確認してみましょう。

方向ベクトル $\vec{d}$ の向きに沿って直線が伸びているのがわかるね。 $t$ の値を変えると点 $\vec{p}$ が直線上を動くんだ。

$(2)\quad 2$ 点 $A(1,\; 4),\; B(3,\; -2)$ を通る直線のベクトル方程式を求めよ。

$2$ 点を通る直線の公式 $\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$ を使います。

\vec{p}=(1-t)(1,\; 4)+t(3,\; -2)

=(1-t,\; 4-4t)+(3t,\; -2t)

=\underline{(1+2t,\; 4-6t)}

$t=0$ で $A$ 、 $t=1$ で $B$ になるか確認してみていいですか？

いいね！確認は大事だよ。

確認してみましょう。 $t=0$ のとき $\vec{p}=(1,\; 4)=A$ 、 $t=1$ のとき $\vec{p}=(3,\; -2)=B$ となり、正しいことがわかります。

$(3)\quad (2)$ の直線上で、 $AB$ を $1:2$ に内分する点 $P$ の座標を求めよ。

$t=0$ で $A$ 、 $t=1$ で $B$ だから、 $AB$ を $1:2$ に内分する点は $t$ がいくつになるかな？

$A$ から $B$ に向かって $\frac{1}{3}$ 進んだところだから... $t=\frac{1}{3}$ ですか？

正解！ $AB$ を $m:n$ に内分するとき $t=\frac{m}{m+n}$ だね。

$t=\frac{1}{3}$ を代入して、

P=\left(1+2\cdot\frac{1}{3},\; 4-6\cdot\frac{1}{3}\right)

=\left(1+\frac{2}{3},\; 4-2\right)

=\underline{\left(\frac{5}{3},\; 2\right)}

直線のベクトル方程式を使えば、内分点も $t$ に値を代入するだけで求められるんだ。便利でしょ？

このページのまとめ

ここでは直線のベクトル方程式について学習しました。

方向ベクトルを使う方法と $2$ 点を使う方法の $2$ 通りを覚えておきましょう。

特に $2$ 点を通る直線では $t$ の値と内分比の関係を理解しておくと、色々な問題に応用できますよ！

アプリで続ける

この問題の「よくある質問」や「解法の鍵」は、アプリで読めます。

この問題に関するよくある疑問への回答や、解法のポイントをまとめた「解法の鍵」はアプリに収録しています。類題演習やAIへの質問もアプリから使えます。直線のベクトル方程式 に近い内容をそのまま続けられます。

よくある質問解法の鍵類題演習 AIに質問

App Store Google Play

ストアからダウンロードして、同じ単元の演習やAI質問をそのまま続けられます。