ベクトルの内積と角度

問題

$3点A(-2,1),B(0,5),C(-3,4)$について以下の値を求めよ。

解説

ベクトルの内積と角度の問題について解説します。

ベクトルの成分は終点から始点の座標を引くことで求められます。

${ \vec{AB}}は{ B}$の座標から$A$の座標を引けばよいので$\vec{AB}=\{0-(-2),\; 5-1)\}$ $=(2,\;4)$となります。

よって、大きさは$|\vec{AB}|$$=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$となります。

同様に$\vec{AC}$は${ C}の$座標から${ A}の$座標を引けばよいので$\vec{AC}={-3-(-2),\; 4-1}=(-1,\; 3)$となり、

大きさは$|\vec{AC}|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$となります。

と求めることができました。

はじめに内積の公式を確認しておきましょう。

この問題ではベクトルは成分表示されているので、公式に当てはめると

$\vec{AB}\cdot \vec{AC}=2\cdot (-1)+4\cdot 3=\underline{10}$となります。

${ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta}より、$ 2つのベクトルの大きさと内積が分かっていれば${ \cos\theta}の値が$分かります。

$\cos\theta$の値が分かれば$\theta$の値を求められそうですね。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$を変形すると$\cos\theta =\frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{|\vec{a}||\vec{b}|}$となるので$(1)と(2)で$求めた値を代入して、

よって、$\underline{\theta =45°}$となります。

ベクトルの分野で角度を求める問題は頻出するよ。

この問題では(1)と(2)が(3)で角度を求めるための過程を誘導する問題になっているね。

誘導がなくても角度を求められるようにたくさん問題を解いて練習してね！

ここではベクトルの内積と角度の問題について解説しました。

ベクトルの問題で「角度」という言葉を聞いたら、すぐに内積を思い出せるといいですね。

ベクトルの角度を求める問題は必ず解けるようになりましょう！