2点からベクトルの成分を出すとき、なぜB−Aでいいの？

ベクトルの成分表示では、平面ベクトルについて、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

始点と終点を逆にすると、ベクトルはどう変わるの？

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このページのまとめ

ベクトルの成分表示の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

$2$ 点 $A(1,\; 3),\; B(4,\; -1)$ について、次の問いに答えよ。

$(1)\quad \vec{AB}$ を成分で表せ。

$(2)\quad \vec{BA}$ を成分で表せ。

$(3)\quad \vec{a}=(2,\; -3)$ のとき、 $\vec{AB}+2\vec{a}$ を求めよ。

(1)\; \vec{AB}=\underline{(3,\; -4)}

(2)\; \vec{BA}=\underline{(-3,\; 4)}

(3)\; \vec{AB}+2\vec{a}=\underline{(7,\; -10)}

ベクトルの成分表示について解説します。

ベクトルの成分は「終点 $-$ 始点」で求めるよ。 $\vec{AB}$ なら $B$ の座標から $A$ の座標を引くんだ。

$(1)\quad \vec{AB}$ を成分で表せ。（ $A(1,\; 3),\; B(4,\; -1)$ ）

$\vec{AB}$ は $B$ の座標から $A$ の座標を引けばよいので、

\vec{AB}=(4-1,\; -1-3)=\underline{(3,\; -4)}

これを図で確認してみましょう。

$(2)\quad \vec{BA}$ を成分で表せ。

$\vec{BA}$ は $A$ の座標から $B$ の座標を引けばよいので、

\vec{BA}=(1-4,\; 3-(-1))=\underline{(-3,\; 4)}

$\vec{AB}$ と $\vec{BA}$ って符号が逆になるんですね！

その通り！ $\vec{BA}=-\vec{AB}$ という関係が成り立つんだ。

向きが逆になるから、成分の符号も全部逆になるよ。

$(3)\quad \vec{a}=(2,\; -3)$ のとき、 $\vec{AB}+2\vec{a}$ を求めよ。

$(1)$ で求めた $\vec{AB}=(3,\; -4)$ を使います。

\vec{AB}+2\vec{a}

=(3,\; -4)+2(2,\; -3)

=(3,\; -4)+(4,\; -6)

=\underline{(7,\; -10)}

スカラー倍を先に計算してから足すのがポイントだよ。

このページのまとめ

ここではベクトルの成分表示について学習しました。

ベクトルの成分は「終点 $-$ 始点」で求めるという基本をしっかり押さえておきましょう。

$\vec{AB}=-\vec{BA}$ という関係も覚えておくと便利ですよ！

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