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位置ベクトルの解き方 | 数学Cの学習ノート

このページのまとめ

先に押さえておくこと

位置ベクトルの要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

点の位置をベクトルで表すの答えと条件を先に確認できます。

テーマ: 点の位置をベクトルで表す
ポイント: 平面ベクトルの基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点を $P$ 、辺 $CA$ の中点を $Q$ とする。 $A$ の位置ベクトルを $\vec{a}$ 、 $B$ の位置ベクトルを $\vec{b}$ 、 $C$ の位置ベクトルを $\vec{c}$ とするとき、次の問いに答えよ。

$(1)\quad P$ の位置ベクトルを $\vec{a},\; \vec{b},\; \vec{c}$ で表せ。

$(2)\quad Q$ の位置ベクトルを $\vec{a},\; \vec{b},\; \vec{c}$ で表せ。

$(3)\quad$ 線分 $PQ$ の中点 $M$ の位置ベクトルを $\vec{a},\; \vec{b},\; \vec{c}$ で表せ。

答えを見る

(1)\; \vec{OP}=\underline{\frac{\vec{b}+2\vec{c}}{3}}

(2)\; \vec{OQ}=\underline{\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}}

(3)\; \vec{OM}=\underline{\frac{3\vec{a}+2\vec{b}+7\vec{c}}{12}}

解説

位置ベクトルの問題について解説します。

位置ベクトルって何ですか？

ある定点（始点） $O$ から各点への向きと距離を表すベクトルのことだよ。

例えば、点 $A$ の位置ベクトルは $\vec{OA}$ のことだね。

$(1)\quad P$ （辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点）の位置ベクトルを求めよ。

点 $P$ は辺 $BC$ を $2:1$ に内分するので、内分点の公式を使います。

$B$ と $C$ を $m:n$ に内分する点の公式は $\frac{n\vec{b}+m\vec{c}}{m+n}$ だよ。 $m=2,\; n=1$ を代入しよう。

\vec{OP}=\frac{1\cdot\vec{b}+2\cdot\vec{c}}{2+1}=\underline{\frac{\vec{b}+2\vec{c}}{3}}

$(2)\quad Q$ （辺 $CA$ の中点）の位置ベクトルを求めよ。

中点は $1:1$ の内分点なので、両端の位置ベクトルの平均です。

\vec{OQ}=\frac{\vec{c}+\vec{a}}{2}=\underline{\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}}

中点は両端の位置ベクトルの平均なんですね！

その通り！中点の公式はよく使うから覚えておこう。

$(3)\quad$ 線分 $PQ$ の中点 $M$ の位置ベクトルを求めよ。

$(1),\; (2)$ の結果を使います。 $M$ は $P$ と $Q$ の中点なので、

\vec{OM}=\frac{\vec{OP}+\vec{OQ}}{2}

=\frac{1}{2}\left(\frac{\vec{b}+2\vec{c}}{3}+\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}\right)

通分して計算していきます。分母を $6$ に統一すると、

=\frac{1}{2}\cdot\frac{2(\vec{b}+2\vec{c})+3(\vec{a}+\vec{c})}{6}

=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\vec{b}+4\vec{c}+3\vec{a}+3\vec{c}}{6}

=\frac{3\vec{a}+2\vec{b}+7\vec{c}}{12}

よって、 $\vec{OM}=\underline{\frac{3\vec{a}+2\vec{b}+7\vec{c}}{12}}$ となります。

分数の通分が少し大変だけど、丁寧に計算すれば大丈夫だよ！

このページのまとめ

ここでは位置ベクトルの問題について学習しました。

位置ベクトルを使うと、図形上の点の位置をベクトルで表すことができます。

内分点・中点の公式は頻出なので、しっかり使いこなせるようにしましょう！

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