三角形の重心のベクトル

問題

$3$点$A(1,\; 7),\; B(-2,\; 1),\; C(4,\; -2)$を頂点とする$\triangle ABC$について、次の問いに答えよ。

$(1)\quad \triangle ABC$の重心$G$の座標を求めよ。

$(2)\quad \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}$を求めよ。

解説

三角形の重心のベクトル表示について解説します。

重心って何ですか？

三角形の$3$本の中線（各頂点と対辺の中点を結ぶ線分）が$1$点で交わるんだけど、その交点を重心というんだ。

重心は各中線を$2:1$に内分する点でもあるよ。

重心の公式に当てはめます。

重心は$3$頂点の$x$座標の平均と$y$座標の平均で求められるから、計算は簡単だね。

これはどうやって計算すればいいですか？

各ベクトルを位置ベクトルで表してみよう。$\vec{GA}=\vec{a}-\vec{g}$だよね。

位置ベクトルを使って書き直すと、

ここで$\vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$なので、$3\vec{g}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$です。

よって、$\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}-(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=\underline{\vec{0}}$

実際に座標を使って確認してみましょう。$G(1,\; 2)$なので、

確かに$\vec{0}$になることが確認できました。

$\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$は重心の重要な性質だよ。

この性質を使って重心の座標を求める問題もあるから覚えておこうね！

ここでは三角形の重心のベクトル表示について学習しました。

重心は$3$頂点の位置ベクトルの平均で求められること、そして$\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$という重要な性質を覚えておきましょう！