内分点と外分点の公式は、どう使い分けるの？

内分点・外分点のベクトル表示では、平面ベクトルについて、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

外分点で分母の向きをまちがえないコツは？

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このページのまとめ

内分点・外分点のベクトル表示の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

$m:n$に内分・外分する点の答えと条件を先に確認できます。

$2$ 点 $A(1,\; 5),\; B(4,\; -1)$ について、次の問いに答えよ。

$(1)\quad$ 線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点 $P$ の座標を求めよ。

$(2)\quad$ 線分 $AB$ を $3:1$ に外分する点 $Q$ の座標を求めよ。

$(3)\quad$ 線分 $PQ$ の中点 $R$ の座標を求めよ。

(1)\; P=\underline{(3,\; 1)}

(2)\; Q=\underline{\left(\frac{11}{2},\; -4\right)}

(3)\; R=\underline{\left(\frac{17}{4},\; -\frac{3}{2}\right)}

内分点と外分点のベクトル表示について解説します。

内分と外分ってどう違うんですか？

内分は線分 $AB$ の「間」を分ける点で、外分は線分 $AB$ の「延長上」にある点だよ。

外分の公式は内分の公式の $n$ を $-n$ に変えたものだと覚えるといいよ。

$(1)\quad$ 線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点 $P$ の座標を求めよ。（ $A(1,\; 5),\; B(4,\; -1)$ ）

内分点の公式を使います。 $m=2,\; n=1$ として、

P=\frac{1\cdot A+2\cdot B}{2+1}

=\frac{(1,\; 5)+2(4,\; -1)}{3}

=\frac{(1+8,\; 5-2)}{3}

=\frac{(9,\; 3)}{3}

=\underline{(3,\; 1)}

$(2)\quad$ 線分 $AB$ を $3:1$ に外分する点 $Q$ の座標を求めよ。

外分点の公式を使います。 $m=3,\; n=1$ として、

Q=\frac{-1\cdot A+3\cdot B}{3-1}

=\frac{-(1,\; 5)+3(4,\; -1)}{2}

=\frac{(-1+12,\; -5-3)}{2}

=\frac{(11,\; -8)}{2}

=\underline{\left(\frac{11}{2},\; -4\right)}

外分点の公式、符号が変わるのがややこしいです...

外分の公式は内分の公式で $n$ を $-n$ に置き換えたものだよ。そう覚えると間違いにくいね。

$(3)\quad$ 線分 $PQ$ の中点 $R$ の座標を求めよ。

$(1),\; (2)$ の結果を使って、中点の公式を適用します。

R=\frac{P+Q}{2}

=\frac{(3,\; 1)+\left(\frac{11}{2},\; -4\right)}{2}

=\frac{\left(\frac{17}{2},\; -3\right)}{2}

=\underline{\left(\frac{17}{4},\; -\frac{3}{2}\right)}

中点は $2$ 点の座標の平均だから、各成分を足して $2$ で割ればOKだね。

このページのまとめ

ここでは内分点と外分点のベクトル表示について学習しました。

内分点の公式は $\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$ 、外分点は $n$ を $-n$ に変えるだけです。

座標計算は頻出なので、公式を素早く使えるようにたくさん練習してくださいね！

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