様々な曲線の媒介変数表示

問題

次の曲線を媒介変数$t$を用いて表せ。

解説

楕円・双曲線・放物線の媒介変数表示について解説します。

二次曲線の媒介変数表示って、それぞれ決まった形があるんですか？

そうだよ！楕円・双曲線・放物線にはそれぞれ典型的な媒介変数表示があるんだ。

順番に見ていこう。

まず、それぞれの曲線の媒介変数表示をまとめておきます。

それでは問題を解いていきましょう。

楕円の媒介変数表示では、$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ という三角関数の相互関係を利用します。

楕円の方程式の形をよく見てみよう。$\left(\dfrac{x}{3}\right)^2+\left(\dfrac{y}{2}\right)^2=1$ と変形できるね。

ここで $\dfrac{x}{3}=\cos t$, $\dfrac{y}{2}=\sin t$ とおくと、$\cos^2 t+\sin^2 t=1$ が自動的に満たされます。

したがって、$\underline{x=3\cos t,\quad y=2\sin t}$ となります。

なるほど、$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ を使うから楕円の式になるんですね！

双曲線の場合は、三角関数の別の相互関係を利用します。

双曲線では引き算の形だから、$\dfrac{1}{\cos^2 t}-\tan^2 t=1$ という関係を使うんだ。

$\dfrac{1}{\cos^2 t}-\tan^2 t=1$ という恒等式が成り立つので、$\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{\cos t}$, $\dfrac{y}{3}=\tan t$ とおけば双曲線の方程式が満たされます。

したがって、$\underline{x=\dfrac{2}{\cos t},\quad y=3\tan t}$ となります。

楕円のときは $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ で、双曲線のときは $\dfrac{1}{\cos^2 t} - \tan^2 t = 1$ を使うんですね。

その通り！「足し算」か「引き算」かで使う恒等式が変わるんだよ。

放物線 $y^2=4px$ の形と比較すると、$4p=8$ より $p=2$ です。

放物線の媒介変数表示は $x=pt^2$, $y=2pt$ なので、$p=2$ を代入して

$\underline{x=2t^2,\quad y=4t}$ となります。

実際に検証してみましょう。$y^2=(4t)^2=16t^2$、$8x=8 \cdot 2t^2=16t^2$ なので確かに $y^2=8x$ が成り立ちます。

放物線の媒介変数表示は、$y=2pt$ とおいて $y^2=4p^2t^2=4p \cdot pt^2$ より $x=pt^2$ が導けるよ。

つまり $y$ を $t$ の1次式で表しておけば、$x$ は自然に決まるんだ。

放物線は三角関数を使わないんですね。

放物線は楕円や双曲線と違って「$=1$」の形ではないからね。単純に $t$ の多項式で表せるんだよ。

ここでは楕円・双曲線・放物線の媒介変数表示について学習しました。

それぞれの曲線に対応する媒介変数表示のパターンをしっかり覚えておきましょう。

特に楕円では $\cos^2 t+\sin^2 t=1$、双曲線では $\dfrac{1}{\cos^2 t}-\tan^2 t=1$ を利用することがポイントです！