媒介変数表示

問題

$t$を媒介変数とする。

以下の媒介変数表示はどのような図形を表すか。

解説

媒介変数表示の問題について解説します。

媒介変数表示ってなんですか？

媒介変数表示というのは、変数の関係を他の変数を用いて表現することだよ。

$(1)$や$(2)$では、$xと y$でそれぞれ tという変数が使われていますね。この$t$のことを$\textcolor{red}{{ 媒介変数}}(\textcolor{red}{{ パラメータ}})$といいます。

媒介変数は必ず$t$で表されるわけじゃないよ。他にも${ \theta} や{ u}$がよく使われるよ。

媒介変数表示は、${ x=f(t),y=g(t)}の$形で表されます。

つまり、$t$が決まれば$xとy$が1点に定まるということです。

媒介変数表示をするメリットってなんですか？

例として、$x^2+y^2=r^2$という$半径r$の原点中心の円を考えてみます。

この円を媒介変数tを用いて表すと、$x=r\cos t,\; y=r\sin t$というように表すことができます。

媒介変数を用いずにこの円を$「x=」や「y=」$の形で表そうとすると、$x^2=r^2-y^2 \iff x=\pm \sqrt{r^2-y^2}$という複雑な形になる上に$\sqrt{}$の中が$0$にならないような条件を追加する必要があります。

そのことをふまえれば${ x=r \cos t,\; y=r \sin t}という$表現は非常に簡潔であることが分かりますね。

媒介変数表示でよく出てくる図形として$\textcolor{red}{サイクロイド}$という曲線があるよ。

$x=a(\theta - \sin \theta),y=a(1- \cos \theta)$と媒介変数表示されるんだ。

媒介変数表示の説明はここまでにして、例題を見ていきましょう。

媒介変数表示されている際にどのような図形を表すかを聞かれたら、媒介変数を消去して${ x}と{ y}のみ$で表現すればよいです。

そのためにどちらかを「$t=$」の形にしてもう一方に代入します。

今回は$x=3-2t$を$t=$の形に変形してみましょう。

$2t=3-x \iff t=\frac{3-x}{2}$となるので、$yに$代入すると$y=-2+t=-2+\frac{3-x}{2}=\frac{-1-x}{2}$ですね。

分かりやすい形に変えると${ y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}なので$この媒介変数表示は直線を描くことが分かりました。

よって、答えは$\underline{ 直線\quad y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}$となります。

それでは次の問題を見ていきます！

同じように媒介変数$t$を消去して$xとy$のみで表しましょう。

あれ、$\cos tと\sin t$って消去できるんですか？

(1)と違って$「t=」$の形にできないね。

このようなときはどうすれば良いでしょうか？

結論から言ってしまうと、${ \cos ^2t+ \sin ^2t=1}という$三角関数の相互関係を用います。

常に成り立つ関係を利用するわけですね。

この相互関係を利用することは暗記しておこう。

$y=3 \sin t\iff \sin t=\frac{y}{3}$より、相互関係を利用して

$\left(\frac x 2\right)^2+\left(\frac{y}{3}\right)^2=1$となります。

展開すると、${ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1}より$楕円を描くことが分かりますね。

よって答えは$\underline{ 楕円\quad \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1}$となります。

ここでは媒介変数表示の問題について解説しました。

媒介変数表示が表している図形を聞かれたら、媒介変数を消去すればよいです。

消去する方法として、媒介変数を$t$としたとき

1. 片方を$「t=」$の形にしてもう片方に代入する
2. $\cos ^2t+ \sin ^2t=1$に代入する

という方法を紹介しましたが、このやり方以外で解く問題もあります。

それについては別の例題のページで解説しますが、基本的な方針として媒介変数を消去すればいいということには変わりありません。

色々な問題を解いて、解法がすぐに思いつけるように頑張っていきましょう！