極方程式

問題

$(1)\quad$ 極方程式 $r=\dfrac{2}{1-\cos\theta}$ はどのような曲線を表すか。

$(2)\quad$ 極方程式 $r=2(\sin\theta+\cos\theta)$ を直交座標の方程式に変換せよ。

$(3)\quad$ 曲線 $x=a(\theta - \sin\theta)$, $y=a(1-\cos\theta)$（$a>0$）を何というか答えよ。また、$\theta=\pi$ における接線の傾きを求めよ。

解説

極方程式と媒介変数表示の曲線について解説します。

極方程式って、どんなものですか？

極座標 $(r, \theta)$ を使って曲線を表した方程式のことだよ。

直交座標に変換すると見慣れた曲線になることが多いんだ。

代表的な極方程式をまとめておきましょう。

それでは問題を解いていきましょう。

$r=\dfrac{l}{1-e\cos\theta}$ の形と比較すると、$l=2$, $e=1$ です。

$e=1$ だから放物線だと分かるね。直交座標に変換して確認してみよう。

両辺に $(1-\cos\theta)$ をかけると、

ここで $r=\sqrt{x^2+y^2}$, $r\cos\theta = x$ を代入すると、

両辺を2乗すると（$x+2 \geqq 0$ に注意）、

これは $y^2 = 4(x+1)$ と変形でき、頂点 $(-1, 0)$ の放物線です。

よって、$\underline{\text{放物線}\; y^2=4x+4}$ となります。

両辺に $r$ をかけてみましょう。

ここで $r^2=x^2+y^2$, $r\cos\theta=x$, $r\sin\theta=y$ を代入すると、

平方完成すると、

これは中心$(1, 1)$、半径$\sqrt{2}$の円です。

両辺に$r$をかけるのがコツなんですね！

そうだね。$r$をかけることで $r^2=x^2+y^2$, $r\cos\theta=x$, $r\sin\theta=y$ という変換公式が使えるようになるんだ。

極方程式の変換では定番のテクニックだよ。

この曲線は $\textcolor{red}{\text{サイクロイド}}$ と呼ばれます。

サイクロイドは、直線上を半径$a$の円が滑らずに転がるとき、円周上の定点が描く曲線だよ。

アーチ状の美しい曲線として有名なんだ。

次に、$\theta=\pi$ における接線の傾きを求めます。

媒介変数表示された曲線の接線の傾きは $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}$ で求められます。

よって、$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{a\sin\theta}{a(1-\cos\theta)} = \dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}$

$\theta=\pi$ を代入すると、

つまり、$\theta=\pi$ ではサイクロイドの頂点にあたり、接線は水平（傾き$0$）です。

$\theta=\pi$ のとき、$(x, y) = (a\pi,\; 2a)$ でサイクロイドの一番高い点ですね！

その通り！サイクロイドの頂点では接線が水平になるんだ。

媒介変数表示の微分は $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ という公式をしっかり覚えておこう。

ここでは極方程式と媒介変数表示の曲線について学習しました。

極方程式を直交座標に変換するときは、両辺に$r$をかけて $r^2=x^2+y^2$ や $r\cos\theta=x$, $r\sin\theta=y$ を利用するのがポイントです。

サイクロイドのような有名曲線も出題されるので、媒介変数表示の微分とあわせてマスターしていきましょう！