極座標と直交座標の変換

問題

$(1)\quad$ 極座標 $\left(4,\; \dfrac{\pi}{3}\right)$ を直交座標に変換せよ。

$(2)\quad$ 直交座標 $(-1,\; \sqrt{3})$ を極座標 $(r,\; \theta)$（$r>0$, $0 \leqq \theta < 2\pi$）で表せ。

$(3)\quad$ 直交座標の方程式 $x^2+y^2-4x=0$ を極方程式で表せ。

解説

極座標と直交座標の変換について解説します。

極座標ってなんですか？

普段使っている$(x, y)$の座標は「直交座標」というんだ。

一方「極座標」は、原点からの距離$r$と角度$\theta$で点の位置を表す方法だよ。

極座標では、原点$O$を$\textcolor{red}{極}$、$x$軸の正の部分を$\textcolor{red}{始線}$といいます。点$P$の位置を、極からの距離$r$と始線からの角度$\theta$を用いて$(r, \theta)$と表します。

それでは問題を解いていきましょう。

極座標から直交座標への変換なので、$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ を使います。

$r=4$, $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ を代入すると、

よって、直交座標は $\underline{\left(2,\; 2\sqrt{3}\right)}$ です。

直交座標から極座標への変換です。まず $r$ を求めましょう。

$r>0$ より $r=2$ です。

次に $\theta$ を求めます。$\cos\theta = \dfrac{x}{r} = \dfrac{-1}{2}$, $\sin\theta = \dfrac{y}{r} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ より、

$0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲で $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ です。

よって、極座標は $\underline{\left(2,\; \dfrac{2\pi}{3}\right)}$ となります。

$\tan\theta = \dfrac{y}{x}$ だけでは $\theta$ の象限が分からないことがあるよ。

$\cos\theta$ と $\sin\theta$ の符号を確認して象限を特定しよう。

変換公式 $x=r\cos\theta$, $x^2+y^2=r^2$ を使って置き換えます。

$r=0$ は極（原点）を表すだけなので、求める極方程式は $\underline{r=4\cos\theta}$ です。

$r=0$ を無視してもいいんですか？

$r=4\cos\theta$ で $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ とすると $r=0$ となるから、極は $r=4\cos\theta$ に含まれているんだ。

だから $r=0$ は省略してOKだよ。

なるほど！元の方程式 $x^2+y^2-4x=0$ はどんな図形ですか？

$(x-2)^2+y^2=4$ と変形できるから、中心$(2, 0)$、半径$2$の円だね。極座標で表すと $r=4\cos\theta$ というシンプルな式になるんだ。

ここでは極座標と直交座標の変換について学習しました。

変換公式 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $r^2=x^2+y^2$ は極座標の問題の基本です。

特に直交座標から極座標へ変換する際は、$\theta$ の象限を正しく判定することを忘れずに！