二次曲線の接線

問題

次の二次曲線上の指定された点における接線の方程式を求めよ。

$(1)\quad$ 楕円 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 上の点 $(\frac{3\sqrt{2}}{2},\; \sqrt{2})$

$(2)\quad$ 放物線 $y^2=12x$ 上の点 $(3,\; 6)$

解説

二次曲線の接線の公式について解説します。

二次曲線の接線はどうやって求めるんですか？

二次曲線上の点 $(x_1,\; y_1)$ における接線には便利な公式があるんだ。

曲線の方程式の $x^2$ を $x \cdot x_1$ に、$y^2$ を $y \cdot y_1$ に置き換えるだけだよ。

まず、点 $(\frac{3\sqrt{2}}{2},\; \sqrt{2})$ が楕円上にあることを確認します。

確かに楕円上の点ですね。接線の公式に $x_1=\frac{3\sqrt{2}}{2},\; y_1=\sqrt{2},\; a^2=9,\; b^2=4$ を代入します。

よって接線の方程式は $\underline{\frac{\sqrt{2}x}{6}+\frac{\sqrt{2}y}{4}=1}$ となります。

両辺に $12$ を掛けて整理すると $2\sqrt{2}x+3\sqrt{2}y=12$、つまり $2x+3y=6\sqrt{2}$ とも書けるね。

まず、$y^2=12x$ を $y^2=4px$ と比較すると $4p=12$ より $p=3$ です。

点 $(3,\; 6)$ が放物線上にあることを確認します。

接線の公式 $y_1 y=2p(x+x_1)$ に $x_1=3,\; y_1=6,\; p=3$ を代入します。

よって接線の方程式は $\underline{y=x+3}$ となります。

放物線と接線のグラフを確認しましょう。

公式を覚えるコツはありますか？

「$x^2$ を $x_1 x$ に、$y^2$ を $y_1 y$ に置き換える」と覚えるといいよ。

放物線の場合は $y^2=4px$ の左辺を $y_1 y$ に、右辺の $x$ を $\frac{x+x_1}{2}$ に置き換えると考えてもOKだよ。

ここでは二次曲線の接線の公式について学習しました。

楕円・双曲線・放物線それぞれの接線の公式は、パターンが似ているので整理して覚えましょう。

接点が曲線上にあることの確認も忘れずに行ってくださいね！