放物線の標準形と性質

問題

次の放物線の焦点と準線を求めよ。

解説

放物線の標準形と性質について解説します。

放物線の「焦点」と「準線」ってなんですか？

放物線は「ある1点（焦点）からの距離」と「ある直線（準線）からの距離」が等しい点の集合なんだ。

この2つが放物線を特徴づける重要な要素だよ。

放物線の標準形を確認しておきましょう。

$y^2=8x$ を標準形 $y^2=4px$ と比較します。

$4p=8$ より $p=2$ と分かりますね。

よって、焦点は $(p,\; 0)=\underline{(2,\; 0)}$、準線は $x=-p$ より $\underline{x=-2}$ となります。

放物線のグラフを見てみましょう。

グラフを見ると、焦点 $(2, 0)$ が放物線の内側にあり、準線 $x=-2$ が外側にあるのがわかるね。

放物線上のどの点からも、焦点と準線への距離が等しくなっているよ。

$x^2=-12y$ を標準形 $x^2=4py$ と比較します。

$4p=-12$ より $p=-3$ と分かります。

$p$ がマイナスになりましたが、大丈夫ですか？

大丈夫だよ。$p<0$ のときは放物線が下向き（または左向き）に開くんだ。

焦点の位置が負の方向にずれるだけで、公式はそのまま使えるよ。

よって、焦点は $(0,\; p)=\underline{(0,\; -3)}$、準線は $y=-p$ より $y=-(-3)$ つまり $\underline{y=3}$ となります。

このように、$p$ が負のときは放物線が下に開くことを確認できるね。

ここでは放物線の標準形と焦点・準線の求め方について学習しました。

ポイントは $y^2=4px$ と $x^2=4py$ の形をしっかり区別して、$4p$ の値から $p$ を求めることです。

$p$ の符号が放物線の開く向きを決めるので、符号に注意して問題を解いていきましょう！