双曲線の標準形と性質

問題

双曲線 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ について、次の値を求めよ。

$(1)\quad$ 焦点の座標

$(2)\quad$ 漸近線の方程式

$(3)\quad$ 頂点の座標

解説

双曲線の標準形と性質について解説します。

双曲線って楕円とどう違うんですか？

楕円は2つの焦点からの距離の「和」が一定だったね。

双曲線は2つの焦点からの距離の「差」が一定な曲線なんだ。

形も大きく違って、2つの枝に分かれているよ。

楕円では $c^2=a^2-b^2$ だったけど、双曲線では $c^2=a^2+b^2$ になるよ。

符号が違うから注意してね！

$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ を標準形と比較すると、$a^2=9,\; b^2=16$ より $a=3,\; b=4$ です。

焦点距離を求めます。

焦点は $x$ 軸上にあるので、$\underline{(5,\; 0),\; (-5,\; 0)}$ となります。

漸近線の公式 $y=\pm\frac{b}{a}x$ に代入します。

よって、漸近線は $\underline{y=\pm\frac{4}{3}x}$ となります。

漸近線ってどういう意味ですか？

漸近線は、双曲線が限りなく近づくけれど決して交わらない直線のことだよ。

$x$ が大きくなるほど双曲線は漸近線に近づいていくんだ。

双曲線の頂点は、曲線と実軸（$x$ 軸）の交点です。

$y=0$ とすると $\frac{x^2}{9}=1$ より $x=\pm 3$ ですから、頂点は $\underline{(3,\; 0),\; (-3,\; 0)}$ です。

双曲線のグラフで確認しましょう。

グラフを見ると、双曲線が2つの枝に分かれていて、漸近線（破線）に近づいていく様子がわかるね。

焦点は頂点よりも外側にあることも確認しておこう。

ここでは双曲線の標準形と焦点・漸近線・頂点の求め方について学習しました。

楕円との違い（$c^2=a^2+b^2$）と漸近線の公式は頻出なので、しっかり覚えておきましょう。

グラフのイメージと合わせて理解すると、問題が解きやすくなりますよ！