楕円の標準形と性質

問題

楕円 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ について、次の値を求めよ。

$(1)\quad$ 長軸と短軸の長さ

$(2)\quad$ 焦点の座標

$(3)\quad$ 離心率

解説

楕円の標準形と性質について解説します。

まずは楕円の標準形と基本的な性質を確認しておきましょう。

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ を標準形 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ と比較すると、$a^2=25,\; b^2=9$ より $a=5,\; b=3$ です。

$a > b$ なので長軸は $x$ 軸方向にあります。

よって、長軸の長さは $2a=\underline{10}$、短軸の長さは $2b=\underline{6}$ となります。

焦点の位置を求めるには $c=\sqrt{a^2-b^2}$ を計算します。

焦点は長軸上にあるので、$\underline{(4,\; 0),\; (-4,\; 0)}$ となります。

$c^2=a^2-b^2$ の関係はどこから来るんですか？

楕円上の点で短軸の端点 $(0, b)$ を考えてみよう。

この点から2つの焦点までの距離の和は $2a$ だから、対称性より各焦点までの距離は $a$ だね。

三平方の定理から $a^2=b^2+c^2$、つまり $c^2=a^2-b^2$ が出てくるんだ。

離心率 $e$ は焦点距離 $c$ と半長軸 $a$ の比です。

離心率は楕円の「つぶれ具合」を表すんだ。

$e$ が $0$ に近いほど円に近く、$1$ に近いほど細長い楕円になるよ。

楕円のグラフで確認しておきましょう。

グラフを見ると、焦点が長軸上の $x$ 軸方向にあることが確認できるね。

ここでは楕円の標準形と焦点・長軸・短軸・離心率の求め方について学習しました。

$c^2=a^2-b^2$ の関係は楕円の問題でとても重要です。

楕円上の点から2つの焦点までの距離の和が $2a$ になることもあわせて覚えておきましょう！