二次曲線と直線

問題

楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ と直線 $y=x+k$ について、次の問いに答えよ。

$(1)\quad$ 共有点の個数が $2$ 個となるような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

$(2)\quad$ 共有点の個数が $1$ 個（接する）となるような定数 $k$ の値を求めよ。

解説

二次曲線と直線の共有点の個数を判別式で判定する問題について解説します。

円と直線の共有点を調べるとき、判別式を使ったことがあるかな？

二次曲線でも同じ考え方で解けるよ。

楕円の方程式に直線の式 $y=x+k$ を代入します。

両辺に $4$ を掛けて整理すると、

$x$ の2次方程式になりましたね。これの判別式を使えばいいんですか？

その通り！判別式 $D$ の符号で共有点の個数が決まるんだ。

$(*)$ の判別式 $D$ を計算します。

共有点が $2$ 個のとき $D > 0$ なので、

よって $\underline{-\sqrt{5} < k < \sqrt{5}}$ となります。

接するとき $D=0$ なので、

よって $\underline{k=\pm\sqrt{5}}$ となります。

$k=\sqrt{5}$ のときのグラフを見てみましょう。

楕円と直線の位置関係は判別式で完全に判定できるよ。

これは円と直線のときと同じ考え方だね。

双曲線や放物線でも同じ方法が使えますか？

使えるよ！二次曲線と直線を連立して変数を消去し、判別式を調べるという流れは共通だよ。

ただし放物線の場合は、2次方程式にならず1次方程式になることもあるので、その場合は注意が必要だね。

ここでは楕円と直線の共有点の個数を判別式で判定する方法について学習しました。

ポイントは「連立して1変数の2次方程式を作り、判別式を調べる」ことです。

この方法は楕円だけでなく双曲線・放物線にも使えるので、しっかりマスターしてくださいね！