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複素数平面

複素数と回転

点の回転移動

複素数平面の「複素数と回転」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「点の回転移動」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学C 約9分 難易度 2 図つき

このページのまとめ

先に押さえておくこと

複素数と回転の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

  • テーマ: 点の回転移動
  • ポイント: 複素数平面の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

(1)(1)\quad 複素数z=2+iz = 2 + iを原点のまわりにπ2\frac{\pi}{2}だけ回転した点wwを求めよ。

(2)(2)\quad 複素数z=3+2iz = 3 + 2iを点α=1+i\alpha = 1 + iのまわりにπ3\frac{\pi}{3}だけ回転した点wwを求めよ。

答えを見る

(1)  (1)\; w=−1+2i‾w = \underline{-1 + 2i}

(2)  (2)\; w=(2−32)+(32+3)i‾w = \underline{\left(2 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{3}{2} + \sqrt{3}\right)i}

解説

複素数と回転移動について解説します。

なぜ複素数をかけると回転になるんですか？

絶対値11の複素数cos⁡θ+isin⁡θ\cos\theta + i\sin\thetaをかけると、絶対値は変わらずに偏角だけθ\theta増えるよね。

これが「回転」に対応するんだ。

(1)(1)\quad 複素数z=2+iz = 2 + iを原点のまわりにπ2\frac{\pi}{2}だけ回転した点wwを求めよ。

原点中心の回転の公式w=z(cos⁡θ+isin⁡θ)w = z(\cos\theta + i\sin\theta)に代入します。

w=(2+i)(cos⁡π2+isin⁡π2)w = (2 + i)\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)
=(2+i)(0+i)= (2 + i)(0 + i)
=(2+i)⋅i= (2 + i) \cdot i
=2i+i2= 2i + i^2
=−1+2i= -1 + 2i

よってw=−1+2i‾w = \underline{-1 + 2i}です。

z -3-2-10123 -3-2-1123

π2\frac{\pi}{2}回転はiiをかけることと同じだよ。

zzにiiをかけると反時計回りに90°90°回転するんだ。

(2)(2)\quad 複素数z=3+2iz = 3 + 2iを点α=1+i\alpha = 1 + iのまわりにπ3\frac{\pi}{3}だけ回転した点wwを求めよ。

点α\alpha中心の回転なので、まずz−αz - \alphaを計算します。

z−α=(3+2i)−(1+i)=2+iz - \alpha = (3 + 2i) - (1 + i) = 2 + i

これをπ3\frac{\pi}{3}回転させます。

w−α=(2+i)(cos⁡π3+isin⁡π3)w - \alpha = (2 + i)\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)
=(2+i)(12+32i)= (2 + i)\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)
=2⋅12+2⋅32i+i⋅12+i⋅32i= 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i + i \cdot \frac{1}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i
=1+3i+12i−32= 1 + \sqrt{3}i + \frac{1}{2}i - \frac{\sqrt{3}}{2}
=(1−32)+(3+12)i= \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\sqrt{3} + \frac{1}{2}\right)i

w=(w−α)+αw = (w - \alpha) + \alphaより、

w=(1−32)+(3+12)i+(1+i)w = \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\sqrt{3} + \frac{1}{2}\right)i + (1 + i)
=(2−32)+(32+3)i= \left(2 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{3}{2} + \sqrt{3}\right)i

よってw=(2−32)+(32+3)i‾w = \underline{\left(2 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{3}{2} + \sqrt{3}\right)i}です。

α\alpha中心の回転は少し手順が多いですね。

手順をまとめると、こうなるよ。

  1. z−αz - \alphaを計算（α\alphaを原点に移す）
  2. 回転の複素数をかける
  3. α\alphaを足して元に戻す

この3ステップを意識すれば間違えにくいよ。

このページのまとめ

ここでは複素数と回転移動について学習しました。

原点中心の回転はw=z(cos⁡θ+isin⁡θ)w = z(\cos\theta + i\sin\theta)、α\alpha中心の回転はw−α=(z−α)(cos⁡θ+isin⁡θ)w - \alpha = (z - \alpha)(\cos\theta + i\sin\theta)です。

回転の問題は入試でも頻出なので、確実に解けるように練習してくださいね！

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