極形式の計算

問題

$\theta = \frac{\pi}{18}$のとき、$\frac{(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos 7 \theta + i\sin 7\theta)}{\cos5\theta + i\sin 5\theta}$の値を求めよ。

解説

極形式の計算についての問題を解説します。

この問題、どのように考えるかな？

うーん。実際に$\theta = \frac{\pi}{18}$としてみても計算できないです。

そうだね。こういうときは先に極形式の性質を使って整理してから値を代入しよう。

極形式の性質について確認しておきましょう。

これらの性質を用いることにより、$\frac{(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos 7 \theta + i\sin 7\theta)}{\cos5\theta + i\sin 5\theta}$ $= \cos(\theta + 7 \theta -5\theta ) + i\sin(\theta + 7 \theta -5\theta )$ $= \cos 3\theta +i\sin 3 \theta$と整理することができます。

この式に$\theta = \frac{\pi}{18}$を代入すると$\cos 3\cdot \frac{\pi}{18} +i\sin 3 \cdot \frac{\pi}{18}$ $= \cos \frac{\pi}{6} +i\sin \frac{\pi}{6}$ $= \underline{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i}$となります。

すごくシンプルな式にできましたね。

そうだね。極形式の積と商の計算は頻繁に行うから必ずできるようになっておこう！

ここでは極形式の計算についての問題について解説しました。

極形式の積と商の計算ができれば、複雑な形をした式もすごくシンプルな形にすることができます。

複素数平面の問題において色々なところで使うので、何度も練習して必ずマスターしてくださいね！