ド・モアブルの定理

問題

次の値を求めよ。

解説

複素数平面の問題を解説します。

12乗！？そんなの計算したくないです。

大丈夫。複素数のべき乗は展開しなくていいんだ。ド・モアブルの定理というものが使えるよ。

この公式を使えば、極形式で表された複素数のべき乗を一瞬で計算できるんだ。

複素数のべき乗の問題が出てきたらド・モアブルの定理を使いましょう。

前提として、ド・モアブルの定理を使うためには複素数が極形式で表されている必要があります。

この問題では複素数が極形式で表されていないため、まずは極形式で表すことを考えます。

複素数を極形式に変える公式を確認しておきましょう。

この問題では分母と分子のどちらにも複素数が含まれていますね。それぞれ極形式に直していきましょう。

分子と分母をそれぞれ極形式で表すことができました。

分子と分母それぞれにド・モアブルの定理を使ってもいいですが、極形式で表された複素数の積や商は簡単に計算できるんでしたね。

これを使って、商を先に計算しておきましょう。

$z_1=\sqrt{2}\left( \cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right), z_2=2\left ( \cos \frac{\pi}{6}+i \sin \frac{\pi}{6}\right)$とすると

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left( \cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)\right)$$=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \cos \frac{\pi}{12}+i \sin \frac{\pi}{12}\right)$となります。

よって $\left \{\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \cos \frac{\pi}{12}+i \sin \frac{\pi}{12}\right)\right \}^{12}$となるので、

ここでド・モアブルの定理を用いて

$\left \{\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \cos \frac{\pi}{12}+i \sin \frac{\pi}{12}\right)\right \}^{12}=\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{12}\left( \cos \pi+i \sin \pi \right)$となり、これを計算すると求める値は$\underline{ -\frac{1}{64}}$となります。

ここでは複素数平面の問題について解説しました。

複素数を極形式に変える方法や、ド・モアブルの定理など覚えなければいけないことも多いですが、使いこなせるようにたくさん問題を解いて練習していきましょう！